Математическая энциклопедия - ветвящийся процесс

случайный процесс, описывающий широкий круг явлений, связанных с размножением и превращением к.-л. объектов (напр., частиц в физике, молекул в химии, особей к.-л. популяции в биологии и т. п.). Основным математич. предположением, выделяющим класс В. п., является предположение независимости размножения частиц друг от друга.

Однородный во времени В. п. m(t) с однотипными частицами определяется как марковский процесс со счетным числом состояний переходные вероятности к-рого удовлетворяют дополнительному условию ветвления:

Состояния в В. п. интерпретируются как числа частиц. Вероятность равна вероятности

того, что iчастиц за время tпревращаются в jчастиц. Основным аналитич. аппаратом В. п. являются производящие функции

Из условия ветвления (1) вытекает равенство

В В. п. с дискретным временем (в. п. с д. в.) tпринимает целые неотрицательные значения, и из (3) следует, что есть t-кратная итерация функции . Такой процесс иногда наз. процессом Гальтона Ватсона. ВВ. п. с непрерывным временем (в. п. с н. в.) предполагается, что , и существует правая производная

Из (3) следует, что удовлетворяет дифференциальному уравнению

и начальному условию

Если конечны, то математич. ожидание числа частиц (при условии ) равно для в. п. с д. в. и равно для в. п. с н. в. В зависимости от значения параметров Апли а В. п. подразделяются на докритические ( ), критические ( ) и надкритические (). Основным свойством, определяющим эту классификацию, является поведение при .

Ниже исключаются из рассмотрения тривиальные случаи когда

Вероятность вырождения равна 1 в докритич. и критич. В. п. и меньше 1 в надкритич. В. п. Если то в докритич. В. п. вероятность продолжения процесса при асимптотически ведет себя как , где положительная константа. В критич. В. п. с конечным при имеет место асимптотика

где в в. п. с д. в. и в в. п. с н. в., . Более детальное изучение асимптотич. поведения распределения при показывает, что условный закон распределения

при слабо сходится к предельному распределению , если конечны нек-рые моменты . В до-крнтич. В. п. предельный закон дискретен, а в остальных случаях абсолютно непрерывен. Особенно интересен случай критич. В. п., для к-рого предельный закон показательный

Распределение (6) является предельным также и для В. п., близких к критическим. Точнее, если рассматривать класс производящих функций или с ограниченной 3-й производной и с то

где определяется формулой (5). Явления, возникающие при в В. п., близких к критическим, наз. переходными.

Другой моделью В. п. является Беллмана Хар-риса процесс, в к-ром каждая частица имеет случайное время жизни с функцией распределения G(t) В конце жизни частица оставляет потомство численности и с вероятностью ,

Времена жизни и численности потомства разных частиц независимы. Пусть в начальный момент t=0была одна частица нулевого возраста. Тогда производящая функция F(t; s )числа частиц в момент t, определяемая формулой (2), удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению

где

В частном случае, когда G(t) - вырожденная функция распределения, процесс Беллмана Харриса есть в. п. с д. в.; когда же G(t) - показательная функция распределения, получается в. п. с н. в. В общем случае процесс Беллмана Харриса это немарковский В. п.

Другое усложнение В. п. связано с зависимостью частиц от положения в пространстве.