Математическая энциклопедия - александера инварианты

инварианты, связанные с модульной структурой одномерных гомологии многообразия , на к-ром свободно действует свободная абелева группа ранга ас фиксированной системой образующих

Проекция многообразия на пространство орбит М является накрытием, отвечающим ядру гомоморфизма фундаментальной группы многообразия М. Так как то группа где коммутант ядра , изоморфна одномерной группе гомологии . При этом расширение порождает расширение (*): к-рое определяет на модульную структуру над целочисленным групповым кольцом группы (см. Групповая алгебра). Та же самая структура индуцируется в данным действием на . Фиксация образующих в отождествляет с кольцом лорановых многочленов от переменных ti . Расширение чисто алгебраически определяет и определено модульным расширением : (см. [5]). Здесь ядро гомоморфизма е: (=1). Модуль наз. модулем Александера накрытия . В случае (рассмотренном впервые Дж. Александером [1]), в к-ром дополнительное пространство нек-рого зацепления kкратности и. в трехмерной сфере , а накрытие отвечает гомоморфизму коммутирования : группы зацепления, наз. модулем Александера зацепления k. Основные свойства G, существенные для дальнейшего: свободная абелева группа, дефект группы Gравен 1, G имеет непредставление для к-рого (см. Узлов и зацеплений диаграммы). В случае зацеплений образующие отвечают меридианам компонент и фиксируются ориентацией этих компонент и сферы.

Обычно Месть дополнительное пространство М(k).зацепления k, состоящего из ( п-2)-мерных сфер в . Кроме гомоморфизма рассматривается гомоморфизм : , где равно сумме коэффициентов зацепления петли, представляющей , со всеми .

Матрица модульных соотношений модуля А а наз. матрицей Алексапдера накрытия, а в случае зацеплений матрицей Александера зацепления. Она может быть получена как матрица где копредставление группы G. При матрица модульных соотношений для получается из отбрасыванием столбца из нулей. Матрицы и определены модулями и лишь с точностью до преобразований, отвечающих переходам к другим копредставлениям модуля. Однако с их помощью вычисляется ряд инвариантов модуля. Идеала м и Александера наз. идеалы модуля А а, т. е. ряд идеалов кольца : где порождается минорами матрицы порядка для . Употребляется и противоположный порядок нумерации. Так как гауссово кольцо и нётерово кольцо, то каждый идеал лежит в минимальном главном идеале его образующая определена с точностью до делителей единицы . Лоранов многочлен наз. i - м многочленом Александера, а просто многочленом Александера зацепления (или накрытия ). Если то он домножается на так, чтобы Гомоморфизму отвечает модуль А,