Математическая энциклопедия - алгебраических систем многообразие

алгебраических систем класс фиксированной сигнатуры и, аксиоматизируемый при помощи тождеств, т. е. формул вида

где к.-л. предикатный символ из или знак равенства, а термы сигнатуры Q от предметных переменных А. с. м. наз. иначе э к, вациональными классами, иногда примитивными классами. Многообразие сигнатуры может быть определено также (теорема Биркгофа) как непустой класс -систем, замкнутый относительно подсистем, гомоморфных образов и декартовых произведений.

Пересечение всех многообразий сигнатуры , содержащих данный (не обязательно абстрактный) класс -систем, наз. эквациональным замыканием класса (или многообразием, порожденным классом > и обозначается . В частности, если класс состоит из одной -системы , то его эквацп-ональное замыкание обозначают . Если система конечна, то все конечно порожденные системы в многообразии также конечны [1], [2].

Пусть нек-рый класс -систем, класс подсистем систем из класс гомоморфных образов систем из класс изоморфных копий декартовых произведений систем пз . Для произвольного непустого класса -систем имеет место соотношение (см. [1], [2]):

Многообразие наз. тривиальным, если в каждой его системе истинно тождество . Всякое нетривиальное многообразие обладает свободными системами любого ранга ти (см. [1], [2]). Пусть множество тождеств сигнатуры и класс всех -систем, в к-рых истинны все тождества из . Если для многообразия сигнатуры выполняется равенство , то наз. базисом для . Многообразие наз. конечно базируемы м, если оно имеет конечный базис . Для любой системы базис многообразия наз. также базисом тождеств системы . Если конечно базируемое многообразие алгебр конечной сигнатуры и все алгебры из имеют дистрибутивные решетки конгруэнции, то каждая конечная алгебра пз имеет конечный базис тождеств (см. [10]). В частности, любая конечная решетка обладает конечным базисом тождеств. Конечный базис тождеств имеет любая конечная группа [3]. Напротив, существует 6-элементная полугруппа [5] и 3-элементный группоид [6], у к-рых нет конечного базиса тождеств.

Многообразия -систем, содержащиеся в к.-л. фиксированном многообразии сигнатуры , составляют по включению полную решетку с нулем и единицей, к-рая наз. решеткой подмногообразий многообразия . Нулем этой решетки служит многообразие с базисом , а единицей многообразие . Если многообразие нетривиально, то решетка антиизоморфна решетке всех вполне характеристических конгруэнции свободной в системы счетного ранга [1]. Решетка всех многообразий сигнатуры бесконечна, кроме случая, когда множество конечно и состоит лишь из предикатных символов. Известно точное значение мощности бесконечной решетки (см. [1]). Решетка всех многообразий решеток дистрибутивна и имеет мощность континуума [7], [8]. Решетка всех многообразий групп модулярна, но не дистрибутивна [3], [4]. Решетка многообразий коммутативных полугрупп не модулярна [9].