Математическая энциклопедия - алгебраического многообразия автоморфизм

обратимый морфизм алгебраич. многообразия (или схемы) в себя. Группа всех А. м. а., обозначаемая обычно ,важный инвариант многообразия . Изучение действий группы А. м. а. на объектах, функторпально связанных с , таких, как Пикаро. группа, Чжоу кольцо, К-функтор, группа когомологшт, является средством изучения самих многообразий. Группа А. м. а. участвует при образовании форм алгебраич. многообразия. Для полных алгебраич. многообразий над полем комплексных чисел группа А. м. а. совпадает с группой биголоморфньгх автоморфизмов.

Для ряда простых алгебраич. многообразий строение группы известно. Напр., если Xпроективное n-мерное пространство над полем k, то любой его автоморфизм является линейным проективным преобразованием и совпадает с проективной линейной группой . Группа автоморфизмов эллиптич. кривой и, вообще, любого абелева многообразия является расширением группы автоморфизмов, сохраняющих структуру абелева многообразия, при помощи группы сдвигов на точки многообразия , т. е. последовательность групп

точна. Если гладкая полная алгебраич. кривая рода , то группа конечна; известна оценка ее порядка в зависимости от (см. Алгебраическая кривая). Об автоморфизмах поверхностей см. Алгебраическая поверхность.

Для алгебраич. многообразий с обильным каноиич. или антиканонич. обратимым пучком группа автоморфизмов является алгебраич. подгруппой группы для нек-рого . Группа автоморфизмов гладкой поверхности размерности н степени конечна [1].

Во всех приведенных выше примерах обладает естественной структурой алгебраич. группы, быть может, с бесконечным числом связных компонент; это верно и в общем случае [2].

Современный подход к изучению группы А. м. а. состоит в рассмотрении семейств автоморфизмов. Семейством автоморфизмов многообразия со схемой параметров наз. автоморфизм произведения , перестановочный с проекцией на второй множитель; множество семейств автоморфизмов со схемой параметров обозначается . Сопоставление является контравариантным функтором от Т. Если многообразие Xполное, то этот функтор представим (см. Представимый функтор).локально алгебраич. схемой групп с не более чем счетным числом связных компонент [3]. Для проективных многообразий этот факт был доказан А. Гротендиком (A. Grothendieck); существует обобщение этой теоремы на случай собственных плоских морфизмов схем. Представляющая схема не обязательно является приведенной, даже в случае, когда X - гладкая проективная поверхность; однако, если характеристика основного поля равна 0, либо если X - гладкая кривая или гладкая гиперповерхность, то связная компонента единицы этой схемы является многообразием.

Для неполных многообразий функтор автоморфизмов не всегда представим в категории схем. Для аффинного многообразия функтор автоморфизмов представим в категории индуктивных пределов схем.

Для аффинных пространств, кроме простого случая аффинной прямой, известна только группа автоморфизмов аффинной плоскости. Она является свободным произведением с объединенным пересечением двух своих подгрупп подгруппы линейных аффинных преобразований и подгруппы треугольных автоморфизмов, т. е. преобразований вида

где произвольный многочлен от х(см. [4], [5]). Об аффинных алгебраич. поверхностях, на к-рых группа автоморфизмов действует транзитивно, см. [6].

Лит.: [1] Мatsumиrа Н., Моnskу P., "J. Math. Kyoto Univ.", 1964, v. 3,p. 347-61; [2]Matsusakа Т., "Amer. J. Math.", 1958, v. 80, ЛГ" 1, p. 45-82; [3] Matsumura Н., Ооrt F., "Invent Math.", 1967, v. 4, № 1, p. 1-25; [4] Engel W., "Math. Ann.", 195S, v. 136, p. 319-25; [5] Shafareviсh I. R., "Rend. Math.", 1966, v. 25, p. 208-12; 16] Гизатуллин М. X., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1971, т. 35, Ли 5, с. 1047 71; [7] Rоth L., Algebraic threefolds, В.-[ч.