Математическая энциклопедия - алгебраическое многообразие

один из основных объектов изучения алгебраич. геометрии. Современное определение А. м. над полем kкак приведенной схемы конечного типа над полем kпретерпело длительную эволюцию. Классич. определение А. м. ограничивалось аффинными и проективными алгебраич. множествами над полями действительных или комплексных чисел (см. Аффинное алгебраическое, множество, Проективное алгебраическое множество). Начиная с кон. 20-х гг. 20 в. в работах Б. Л. ван дер Вардена (В. L. van der Waerden), Э. Нётер (Е. Noether) и др понятие А. м. подверглось существенной алгебраиза-ции, позволившей перейти к рассмотрению А. м. над произвольными полямп. А. Вейль [6] перенес на А. м. идею конструкции дифференцируемых многообразий с помощью склейки. Полученное таким образом абстрактное A.M. определяется как система аффинных алгебраич. множеств над полем k, в каждом из к-рых выделены открытые подмножества согласованно изоморфные открытым подмножествам На такие А. м. удалось перенести все основные понятия классической алгебраич. геометрии. Примеры абстрактных А. м., неизоморфных алгебраич. подмножествам проективного пространства, были затем построены М. Нагатой (М. Nagata) и X. Хиронака (Н. Hironaka) (см. [2], [3]). Аналогом проективных алгебраич. множеств при этом служили полные алгебраические многообразия.

Ж. П. Серром [5] было обнаружено, что единое определение дифференцируемых многообразий и аналитич. ространств как окольцованных топологич. пространств имеет свой аналог и в алгебраич. геометрии. А. м. стало наз. окольцованное пространство, локально изоморфное аффинному алгебраич. множеству над полем kс топологией Зариского и пучком ростков регулярных функций на нем. Дополнительная структура окольцованного пространства на А. м. позволяет упростить различные конструкции с абстрактными А. м., а также ввести в их изучение методы гомологич. алгебры, связанные с теорией пучков.

В 1958 на Международном математич. конгрессе в Эдинбурге А. Гротендик (A. Grothendieck) наметил перспективы дальнейшего обобщения понятия А. м., связанного с теорией схем. После того как были заложены [4] основы этой теории, под А. м. стали пониматься приведенные схемы конечного типа над полем k, причем такие аффинные (соответственно проективные) схемы стали наз. аффинными (соответственно проективными) многообразиями. Включение А. м. в более широкие рамки схем оказалось полезным в ряде вопросов классической алгебраич. геометрии ( разрешение особенностей, модулей проблема и др.).

Другое обобщение понятия А. м. связано с понятием алгебраического пространства.

Над полем комплексных чисел каждое А. м. обладает структурой комплексного аналитического пространства, что позволяет привлекать к изучению топологические и трансцендентные методы (см. Кэлерово многообразие).

Многие вопросы теории чисел (теория сравнений, диофантовы уравнения, модулярные формы и др.) приводят к изучению А. м. над конечными полями и полями алгебраич. чисел (см. Алгебраических многообразий арифметика, Диофантова геометрия, Дзета-функция в алгебраической геометрии).

Лит.:[1] Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [2] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; [3] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М., 1972, с. 47-112; [4] Grothendieck A., Dieudonne J., Elements de geometric algebrique, t. 1-Le langage des schemes, P., 1960; [alSerre J.-P.,"Ann. Math.", 1955, v. 61, № 2, p. 197-278; [6] W e i 1 A., Foundations of algebraic geometry, N.Y., 1946 (2 ed., 1962). И. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985