Математическая энциклопедия - алгебраическое число

Ч комплексное (в частности, действительное) число, являющееся корнем многочлена

с рациональными коэффициентами, из к-рых не все равны нулю. Если Ч А. ч., то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным 1, и, следовательно, неприводимый (см. Неприводимый многочлен). Он наз. каноническим, или минимальным, многочленом А. ч.. Степень пканонич. многочлена наз. степенью А. ч.. Существование неприводимых многочленов любой степени побусловливает существование А. ч. степени п. Все рациональные числа, и только они, являются А. ч. 1-й степени. Число г есть А. ч. 2-й степени как корень многочлена при любом натуральном песть А. ч. степени пкак корень неприводимого многочлена .

Корни а х, . . ., аД канонич. многочлена наз. числами» сопряженными с А. ч.,и тоже являются А. ч-степени п. Все числа, сопряженные с , различны-■ Важной характеристикой А. ч., кроме степени, является его высота (аналог знаменателя рациональной дроби). Высотой А. ч. наз. наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми рациональными коэффициентами, имеющем своим корнем. Сумма, разность, произведение и частное двух А. ч. (кроме деления на нуль) суть А. ч., т. е. множество всех А. ч. образует поле. Корень многочлена с алгебраич. коэффициентами есть А. ч.

А. ч. наз. целым, если все коэффициенты в его канонич. многочлене Ч целые рациональные числа. Напр., и Ч целые А. ч. как корни многочленов и .

Понятие целого А. ч. является обобщением понятия целого рационального числа (целое рациональное число есть целое А. ч. как корень многочлена ). Многие свойства целых рациональных чисел сохраняются и для целых А. ч. Так, целые А. ч. образуют кольцо. Однако действительные целые А. ч. образуют всюду плотное множество, в то время как целые рациональные Ч дискретное множество. В 1872 Г. Кантор (G. Kantor) доказал, что множество всех А. ч. счетно, откуда следовало существование трансцендентных чисел.

Корень любого (не обязательно неприводимого) многочлена с целыми рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, является целым А. ч. Более того, корень многочлена с целыми алгебраич. коэффициентами и старшим коэффициентом 1 есть целое А. ч. В частности, корень любой степени киз целого А. ч. есть целое А. ч. Для всякого А. ч. существует такое натуральное , что Ч целое А. ч. (аналогия с рациональными числами). В качестве наименьшего возможного числа можно взять модуль старшего коэффициента в неприводимом и примитивном многочлене с целыми рациональными коэффициентами, имеющем своим корнем. Все сопряженные целого А. ч.