Математическая энциклопедия - алгебраической системы автоморфизм

Ч изоморфное отображение алгебраической системы на себя. Автоморфизмом (А.) -системы наз. всякое взаимно однозначное отображение множества Ана себя, обладающее свойствами:

для всех . из Аи для всех из . Другими словами, А. -системы есть изоморфное отображение системы на себя. Пусть Ч множество всех А. системы . Если , то обратное отображение также обладает свойствами (1), (2) и поэтому Произведение А. системы , определяемое формулой снова является А. системы . Поскольку умножение отображений ассоциативно, то есть группа, наз. группой всех A системы и обозначаемая через . Подгруппы группы наз. просто группами А. системы .

Пусть Ч А. системы и Ч конгруэнция этой системы. Полагая

получим снова конгруэнцию системы .А.наз. IСавтоморфизмом, если для любой конгруэнции системы . Множество всех автоморфизмов системы является нормальным делителем группы , и факторгруппа изоморфна нек-рой группе А. решетки всех конгруэнции системы . В частности, всякий внутренний А. группы, определяемый к.-л. фиксированным элементом аэтой группы, является IС -автоморфизмом. Однако пример циклич. группы простого норядка показывает, что не всякий IС -автоморфизм группы Ч внутренний.

Пусть Ч нетривиальное многообразие -систем или к.-л. другой класс -систем, обладающий свободными системами любого (ненулевого) ранга. А. системы из класса наз. I-автоморфизмом, если существует терм сигнатуры от неизвестных для к-рого: 1) в системе существуют такие элементы что для каждого элемента имеет место равенство

2) для любой системы из класса отображение

является А. этой системы при любом выборе элементов в системе . Множество всех -автоморфизмов каждой системы из класса является нормальным делителем группы . В классе всех групп понятие -автоморфизма совпадает с понятиен внутреннего А. группы [2]. Более общее понятие формульного А. -системы см. в [3].

Пусть Ч алгебраич. система. Заменяя каждую основную операцию в предикатом

получим так наз. модель , представляющую систему . Справедливо равенство

Если системы имеют общий носитель A и , то . Если система с конечным числом порождающих финитно аппроксимируема, то группа также финитно аппроксимируема (см. [1], с. 432). Пусть Ч класс -систем и пусть Ч класс всех изоморфных копий групп а Ч класс подгрупп групп из класса . Класс состоит из групп, изоморфно вложимых в группы Aut(A) .

В исследовании групп А. алгебраич. систем выделились следующие две проблемы.

1)   Пусть дан класс -систем. Что можно сказать о классах ^и?