Математическая энциклопедия - дирихле интеграл

функционал, связанный с решением Дирихле задачи для уравнения Лапласа вариационным методом. Пусть Qограниченная область в Rn с границей Г класса С ¹, х=( х 1, . . ., х п), а функция (см. Соболева пространство).

Д. и. для функции и(х)наз. выражение

Для некоторой заданной на Г функции j(х)рассматривается множество pj функций из W¹2(W), к-рые удовлетворяют граничному условию u|x О Г= j. Если множество pj не пусто, то существует единственная функция для которой

и эта функция является гармонической в области Q. Верно и обратное утверждение: если гармонич. функция и 0 (х)принадлежит множеству pj, то на ней достигается inf D[u]. Таким образом, и а (х)является обобщенным из решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Однако не для всякой функции j можно найти такую функцию и 0 (х). Существуют даже непрерывные на Г функции, для к-рых множество pj пусто, т. е. в пространстве не существует ни одной функции и(х), удовлетворяющей условию u|x О Г= j. Классич. решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с такой граничной функцией j не может иметь конечного Д. и. и не является обобщенным решением из пространства

Лит.:[1] Михайлов В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, М., 1976.

А. К. Гущин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985