Математическая энциклопедия - дирихле задача

задача отыскания регулярной в области Dгармонич. функции u, к-рая на границе Г области Dсовпадает с наперед заданной непрерывной функцией j. Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптич. уравнения 2-го порядка, принимающего наперед заданные значения на границе области, также наз. Д. з., или первой краевой задачей. Вопросы, связанные с этой задачей, рассматривались еще К. Гауссом (С. Gauss, 1840), а затем П. Дирихле [1].

Для областей Dс достаточно гладкой границей Г решение и(х)Д. з. можно представить интегральной формулой

(1)

где дG( х, х 0)/дп 0- производная по направлению внутренней нормали в точке Грина функции G(x, x0), характеризуемой следующими свойствами:

или

где r=|x- х 0|расстояние между точками хи х 0, sn- площадь единичной сферы в Rⁿ, g( х, х 0)регулярная в Dгармонич. функция как относительно координат х, так и относительно координат х 0;

2) G(x, xo) =0, когда

Для шара, полупространства и нек-рых других простейших областей функция Грина строится явно и формула (1) дает эффективное решение Д. з. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы носят название Пуассона формул.

Д. з. является одной из основных проблем потенциала теории. Она служила и служит как бы пробным камнем для разрабатываемых новых методов, к-рые затем, в той или иной мере, становятся достоянием общей теории уравнений с частными производными.

Для исследования Д. з. применяются следующие методы.

Вариационный метод основан на том, что среди всех функций и, заданных в Dи принимающих наперед заданные значения на Г, минимизирует Дирихле интеграл

гармоническая функция. Для D(й)строится специальная минимизирующая последовательность и доказывается сходимость этой последовательности. Поскольку от искомого решения иД. з. требуется, чтобы сущест-

вовал интеграл D(u), то вариационный метод применим лишь для таких функций ф, к-рые являются следами на Г функций F, заданных в D, и таких, что D(F)существует и ограничен.

В методе потенциалов решение Д. з. ищется в виде потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью, определенной на Г. При помощи формул скачка относительно этой плотности получается интегральное уравнение Фредгольма, из к-рого следует существование решения Д. з. с учетом того, что единственность этого решения следует из принципа максимума. Предполагается, что

В альтернирующем методе Шварца рассматриваются две области D1 и D2 с непустым пересечением D0 такие, что для D1 и D2 в отдельности известен способ решения Д. з. Затем строится процесс, позволяющий найти решение Д. з. для области Границы Г 1 и Г 2 областей D1 и D2 предполагаются кусочно гладкими, причем во всех точках пересечения Г 1 с Г 2 как Г 1, так и Г 2 являются гладкими и пересекаются под ненулевым углом. Строятся последовательности регулярных в областях D1 и D2 гармонии, функций, удовлетворяющих специальным граничным условиям. Затем доказывается, что эти последовательности равномерно сходятся и в D0 их пределы совпадают. Предельная гармонич. функция регулярна в Dи является искомым решением Д. з. Метод Шварца можно применять для объединения пли пересечения любого конечного числа областей.

Метод выметания в той форме, в к-рой он первоначально был введен А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1890), применяется к таким областям, к-рые допускают исчерпание счетным множеством шаров. Исходным в этом методе является построение ньютонова потенциала, принимающего на границе Г заданные значения j, а задача затем сводится к замене этого потенциала потенциалом масс, расположенных на Г, без изменения значений j на Г, т. е. к выметанию масс. При помощи формулы Пуассона такой процесс выметания для шара Dлегко осуществить в явном виде. Счетное число выметаний из шаров, объединение к-рых исчерпывает область Dобщего вида, приводит к нек-рому потенциалу масс, расположенных на границе Г, к-рый и дает решение Д. з.

Близким к методу выметания является Перрона метод (или метод верхних и нижних функций), применимый к областям Dвесьма общего вида. В этом методе строятся последовательности верхних (супергармонических) и нижних (субгармонических) функций, общим пределом к-рых является искомое решение Д. з. Для того чтобы это решение принимало заданное значение в точке необходимо и достаточно существование локального барьера wQ. Функция wQ. непрерывна, супергармонична в пересечении (2 шар с центром в точке Q);wQ>0 всюду в , кроме точки Q, где она обращается в нуль.

Точки Г, для к-рых существует локальный барьер, наз. регулярными точками. Если Г состоит только из регулярных точек, то полученное решение Д. з. непрерывно в Dи принимает заданные значения на Г. Однако на Г могут существовать и иррегулярные точки. Напр., в R² иррегулярными являются изолированные точки Г, а в R³ иррегулярной будет вершина достаточно тонкого острия, входящего внутрь D. Наличие иррегулярных точек приводит к тому, что Д. з. не является разрешимой для всех непрерывных на Г функций j, либо же решение является неустойчивым по отношению к изменению граничных данных (см. [6]).