Математическая энциклопедия - дирихле z-функция

Дирихле L-pяд, L-p яд, функция комплексного переменного s=s+it, определяемая для всех Дирихле характеровc.mod d рядом

Д. L- ф .mod dкак функции действительного переменного s введены в 1837 П. Дирихле (P. Dirichlet, см. [1]) в связи с доказательством бесконечности простых чисел в арифметич. прогрессии dm+l, разность dи первый член lк-рой взаимно простые числа. Они представляют собой естественное обобщение дзета-функции Римана z(s) на арифметич. прогрессии и служат мощным средством исследований в аналитич. теории чисел (см. [2] [4]).

Ряды (1), наз. Дирихле рядами, абсолютно и равномерно сходятся в любой конечной области комплексной s плоскости, для к-рой , g>0. Если cнеглавный характер, то

В силу ограниченности суммы под знаком интеграла эта формула осуществляет аналитическое продолжение L(s, x )как регулярной функции в полуплоскость s>0.

Для любого c.mod dсправедливо представление L(s, x )в виде произведения Эйлера по простым числам р:

Отсюда, если c=c0главный характер mod d, то при d=l

L(s,c0) = z(s), а для d>l

Поэтому свойства L(s,c0). на всей комплексной плоскости в основном определяются свойствами z(s). В частности, функция L(s,c0) регулярна для всех s, кроме s=l, где она имеет простой полюс с вычетом d^-1j(d), j функция Эйлера. Если же и c* -примитивный характер, к-рый индуцирует характер Xmod d, то

Тем самым в главном Д. L-ф. с характерами c неравно c0 сводятся к таковым для примитивных характеров. Это свойство Д. L =ф. играет существенную роль, так как многие результаты, касающиеся L(s,c), имеют простой вид лишь для примитивных характеров. В случае примитивного характера cmod dаналитич. продолжение на всю плоскость и функциональное уравнение функции L(s, x )получаются прямым обобщением метода Римана для z(s). Результат, если положить

имеет вид

где Г гамма-функция, |e(c)|=1, t(c).Гаусса сумма,c.характер, комплексно сопряженный с c. Это равенство наз. функциональным уравнением функции L(s,c). Из него и формул (2) и (4) следует, что функции L(s,c), x(s, c). являются целыми функциями для всех Причем, при L(s, c) = 0 лишь в точках s=-2v-d, v=0, 1,2,..., и в точках s, где произведение из (4) обращается в нуль; эти точки наз. тривиальными нулями L(s,c). Остальные нули L(s, у )наз. нетривиальными нулями. Для s>1 функция Ш. Ж. Валле Пуссен (Ch. J. Vallee-Poussin) показал, что так что все нетривиальные нули Д. L-ф. лежат в области 0<s<1, к-рая наз. критической полосой.

Распределение нетривиальных нулей, вообще значений L(s,X )в критич. полосе, является важнейшей проблемой теории Д. L-ф., имеющей фундаментальное значение для теории чисел.

То, что каждая из функций L(s,c)имеет бесконечно много нетривиальных нулей и что законы распределения простых чисел в арифметич. прогрессиях находятся в прямой зависимости от расположения этих нулей, показывают соответствующие аналоги формул Римана. Именно, пусть N(T,c)число нулей функции L(s,c)с примитивным c mod dв прямоугольнике 0<s<1 |t|<T,Тогда

Пусть функция Мангольдта,(l, d)=l,

Тогда по свойству ортогональности характеров

где суммирование производится по всем характерам X mod d, и для c-примитивного характера c, a=1-d:

где r=b+ig пробегает нетривиальные нули L(s,c), Vпроизводная Lпо s.

Практически более полезны приближенные формулы для y(x; a): для произвольного

а для х=Хо

Последняя функция вносит в сумму (6) величину, представляющую главный член.

Существует гипотеза, наз. расширенной гипотезой Римана, о том, что все нетривиальные нули Д. L-ф. лежат на прямой s⁼¹/2. Если эта гипотеза справедлива, то для

и многие другие важные проблемы теории чисел получили бы свое окончательное решение. Однако вопросы, касающиеся расположения нетривиальных нулейД. L-ф. исключительно трудны и в настоящее время (1978) в этом отношении известно сравнительно немного, причем для комплексных характеров получены более сильные результаты,, чем для действительных.