Математическая энциклопедия - двумерное многообразие ограниченной кривизны

метрическое пространство, являющееся двумерным многообразием с внутренней метрикой, для к-рого определены аналоги таких понятий двумерной римановой геометрии, как длина и интегральная кривизна кривой, площадь и интегральная гауссова кривизна множества.

Частным случаем Д. м. о. к. являются двумерные римановы пространства и поверхности многогранников в трехмерном евклидовом пространстве. В общем случае класс Д. м. о. к. может рассматриваться как замыкание класса двумерных римановых многообразий относительно надлежащих предельных переходов.

Пусть Мдвумерное риманово многообразие, К(х)гауссова кривизна Мв точке х; а (Е)площадь множества для кривизна:

абсолютная кривизна:

положительная часть кривизны множества Е:

где К ⁺(x) = max {0, К(х)}. Если х и удве точки риманова пространства М, то r( х, у)нижняя грань длин кривых на М, соединяющих точки хи у. Функция р является внутренней метрикой. Она наз. естественной метрикой риманова пространства М.

Пусть Мпроизвольное двумерное многообразие с метрикой r. Говорят, что метрика r риманова, если многообразие М, наделенное метрикой r, изометрично нек-рому двумерному риманову пространству, снабженному его естественной метрикой.

Двумерное многообразие Мс внутренней метрикой р есть Д. м. о. к., если выполнено следующее условие. Существует последовательность римановых метрик rn, n=1, 2, . . ., определенных на многообразии М, такая, что для всякого компактного множества будет равномерно (т. е. функции rn( х, у )сходятся к функции r( х, у )равномерно на множестве ) и последовательность |w п|. (A), n=1, 2, .. ., ограничена, где |w п| абсолютная кривизна римановой метрики рД. Д. м. о. к. может быть определено аксиоматически.

В части достаточности условия данного здесь определения Д. м. о. к. могут быть ослаблены. Именно, двумерное многообразие Мс внутренней метрикой р будет Д. м. о. к., если для всякой его точки можно указать окрестности Uи V, где и последовательность римановых метрик r п, n=1, 2, ..., определенных на Uтаким образом, что равномерно на V, и последовательность {w п+(V)} ограничена.

Для всякого Д. м. о. к. определены вполне аддитивные функции множества s(Е)и w(Е)площадь и, соответственно, кривизна множества. В отличие от риманова случая, w(Е)может и не быть абсолютно непрерывна от.