Математическая энциклопедия - двучленное сравнение

алгебраическое сравнение вида

(1)

где а, твзаимно простые целые числа, а натуральное число. Если сравнение (1) разрешимо, то аназ. вычетом степени ппо модулю т. В противном случае аназ. невычетом степени ппо модулю т.

Вопрос о разрешимости Д. с. по составному модулю тсводится к изучению аналогичного вопроса для случая простого модуля р(см. Сравнение). Для простого модуля имеется критерий разрешимости, доказанный Л. Эйлером (L. Euler): для разрешимости сравнения

необходимо, чтобы выполнялось условие

где d наибольший общий делитель чисел пи р-1; при выполнении этого условия данное сравнение имеет ровно d решений.

Из критерия Эйлера непосредственно следует, что среди чисел 1, 2, ..., р-1 имеется в точности (р-1)/d вычетов и (d-1)(d-1)/d невычетов степени ппо модулю р.

Значительно сложнее обратная задача: найти все модули р, по к-рым заданное число аявляется вычетом (или невычетом) степени Л. Эйлером установлено, что разрешимость или неразрешимость сравнения x²=a(mod p)зависит от того, принадлежит или нет простой модуль рнекоторым арифметич. прогрессиям. Полное доказательство этого результата впервые получил К. Гаусс (С. Gauss, 1801; см. [4], а также Гаусса закон взаимности, Квадратичный закон взаимности). Более того, К. Гаусс заметил, что полное решение указанной задачи при возможно только в нек-ром расширении кольца целых рациональных чисел. Так, для установления закона взаимности для биквадратичных вычетов он вынужден был расширить кольцо целых рациональных чисел до кольца целых комплексных чисел Z[i]. Разрешимость или неразрешимость биквадратичного сравнения z⁴=w(mod p)в кольце Z[i]при заданном зависит от того, каков вычет числа рпо нек-рому постоянному модулю D кольца Z[i].

Новый этап в изучении Д. с. и их применений к другим задачам теории чисел был начат работами И. М. Виноградова, к-рый в 1914 доказал, что количество Rквадратичных вычетов по простому модулю рсреди чисел 1, 2, ...,Q, выражается формулой

где Аналогичный результат был впоследствии получен И. М. Виноградовым и для более общей задачи о числе решений сравнения когда упробегает неполную систему вычетов 1<y<Q.

Лит.:[1] Венков Б. А., Элементарная теория чисел. М.-Л., 1937; [2] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; [3] его же, Избр. труды, М., 1952; [4] Гаусс К. Ф., Труды по теории чисел, [пер.1, М., 1959.

С. А. Степанов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985