Математическая энциклопедия - двусторонняя оценка

совокупность оценок некоторой величины асверху и снизу. Оценкой сверху наз. неравенство вида ; оценкой снизу неравенство противоположного смысла Величины А 0, А 1, с помощью к-рых оценивается величина а, как правило, имеют или более простой вид или значительно легче вычисляются чем l.

Примеры. 1) Пусть т, Мсоответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x)на отрезке [a, b]; тогда для интеграла справедлива Д. о.:

где

2) Д. о. констант Лебега L п при всех п = 0,1,2, ...:

3) Д. о. собственных значений. Пусть поставлена задача на собственные значения линейного самосопряженного оператора Т: Ти=l и в гильбертовом пространстве l. Строится следующий итерационный процесс: Tfn+1=fn, где В силу самосопряженности оператора Тскалярные произведения (fm, fk )зависят лишь от суммы индексов т+к. Числа а п=(f0, fn)=(fm, fn-m) наз. постоянными Шварца, а числа mn+1= а п/а п + 1частными Рэлея Шварца. Если оператор Т положительный, то mn. образуют монотонную невозрастающую сходящуюся последовательность.

Если Х 0собственное значение оператора Т, а<l0<b, a<m2k<b, и на интервале (а, b)нет других точек спектра оператора Т, то

(теорема Темпля [3]). При определенных условиях частные Рэлея Шварца сходятся к нек-рому собственному значению оператора Т.

Численные методы получения Д. о. (двусторонних приближений) наз. двусторонними методами [4]. Рассмотренный выше способ построения частных Рэлея Шварца является примером двустороннего метода. Нек-рые двусторонние методы основаны на использовании пары приближенных формул, имеющих остаточные члены противоположных знаков. Пусть, напр., функция f(x), заданная в точках (узлах интерполяции) xo<x1< ...<х п, интерполируется многочленом Лагранжа L0(x)с узлами х 0, х1, ..., х п-1, L1(x)интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами х 1, х2, ..., х n. Тогда для остаточных членов справедливы соотношения:

где x0, x1 О[x0, х n]. Если производная f^(x) (х)не меняет знака на отрезке [ х 0, х п], то R0(x)и R1(x)имеют разные знаки. Справедлива Д. о.:

Наиболее разработаны двусторонние методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений [5] [9].

Двусторонние методы дают возможность указать границы области, в к-рой заведомо лежит решение задачи. При этом приходится согласиться с усложнением алгоритма. Более того, чтобы обеспечить двусторонность в реальных вычислениях (при наличии ошибок округлений), приходится еще более усложнять алгоритм. Двусторонние методы применяются в основном в тех случаях, когда необходимо иметь гарантированную оценку погрешности.

Лит.:[1] Галкин П. В., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1971, т. 109, с. 3-5; [2] Коллатц Л., Задачи на собственные значения с техническими приложениями, пер. с нем., М., 1968; [3] его же, Функциональный анализ и вычислительная математика, пер. с нем., М., 1969; [4] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [5] Волков Е.