Математическая энциклопедия - ферми - дирака статистика

статистика Ферми,квантовая статистика, применимая к системам тождественных частиц с полуцелым спином (¹/2,³/2, ⁵/2, ... в единицах эрг х сек). Предложена Э. Ферми (Е. Fermi, 1926), ее квантово-механич. смысл выяснен П. Дираком (P. Dirac, 1926). Согласно Ф.Д. с. в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (принцип Паули). Для системы частиц, подчиняющихся Ф.Д. с., квантовомеханич. состояния описываются волновыми функциями, антисимметричными относительно перестановок частиц (т. е. их координат и спинов), а для Бозе Эйнштейна статистики она симметрична.

Квантовое состояние идеального газа определяется заданием совокупности чисел заполнения уровней системы в пространстве импульсов р и спинов где каждое указывает число частице импульсом р п спином В случае Ф.-Д. с. может быть равным нулю или единице.

Газ является системой из очень большого числа частиц, поэтому его квантовые уровни расположены очень плотно и стремятся к непрерывному спектру при стремлении объема к бесконечности. Уровни энергии удобно сгруппировать по малым ячейкам, содержащим G;уровней в ячейке. Каждой ячейке соответствует средняя энергия ei, а число Gi предполагается очень большим. Квантовомеханич. состояние системы определяется набором {Ni},где Ni число частиц в ячейке, т. е. сумма по уровням ячейки. Число различных распределений частиц по ячейкам (т. е. статистич. вес состояния идеального газа Ферми Дирака) равно

и определяет вероятность распределения частиц по ячейкам, к-рые характеризуются числами заполнения N1, N2, . . . Статистич. вес вычислен с помощью комбинаторного анализа с учетом неразличимости частиц и того, что в каждом состоянии не может быть более одной частицы.

Наиболее вероятное распределение частиц по квантовым состояниям, соответствующее заданной энергии Еи числу частиц N

находится из экстремума статистич. веса (1) при дополнительных условиях (2). Соответствующие средние числа заполнения равны

где химич. потенциал, k - постоянная Больцмана (универсальная постоянная k -1,38 x 10^-16 эрг/град), Т - абсолютная температура. Величины и m находятся из условий (2).

Энтропия идеального газа Ферми определяется логарифмом статистич. веса (1) для наиболее вероятного распределения (3)

где суммирование ведется по всем ячейкам. С помощью энтропии можно вычислить свободную энергию и другие термодинамич. функции.

В случае неидеального газа Ферми вычисление термодинамич. функций является сложной проблемой и не сводится к простой задаче комбинаторного анализа. Их вычисление основано на методе Гиббса с учетом Ф.Д. с. Если известен оператор Гамильтона Я системы, то свободная энергия равна

где операция шпура берется по состояниям, удовлетворяющим требованиям Ф.Д. с., т. е. по антисимметрическим волновым функциям. Этого можно достигнуть, если для H использовать представление, в к-ром его действие определено в пространстве волновых функций и чисел заполнения, т. е. перейти к представлению вторичного квантования.

Лит. см. при ст. Бозе Эйнштейна статистика.

Д. Н. Зубарев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985