Математическая энциклопедия - формализованный язык

искусственный язык, для к-рого имеется точное формальное определение класса выражений языка и достаточно строгое объяснение значения или смысла этих выражений. Обычно выражения Ф. я. представляют собой формальные комбинации исходных символов, образующиеся по определенным правилам образования выражений данного языка. Описание выражений Ф. я. и связей между ними составляет синтаксис языка. Выявление смысла выражений относится к семантике языка. Таким образом, задать Ф. я.это значит построить его синтаксис и указать семантику. В формулировках синтаксич. понятий Ф. я. не разрешается использовать семантич. понятия. Все синтаксич. определения должны быть понятны лицу, незнакомому с семантикой языка. Это основное требование, отличающее Ф. я. от естественных, ведет к отделению синтаксиса от семантики и к появлению языков с одинаковым синтаксисом, но разными семантиками. Часто иод Ф. я. понимают только его синтаксис, а возможные семантики наз. интерпретациями языка.

Достигаемая в Ф. я. четкая фиксация языковых средств выражения позволяет устранить неявные ссылки на интуитивную очевидность, неизбежные при неформальном аксиоматич. построении теории (см. Неформальный аксиоматический метод). Формализация языка создает основу для формализации дедуктивных средств исследуемой математич. теории. Понятие Ф. я. лежит в основе гильбертовского понятия формальной системы.

Иногда в понятие Ф. я. включают не только его синтаксис и семантику, но и точную фиксацию допустимых дедуктивных средств получения верных предложений Ф. я. (т. с. включают аксиомы и правила вывода). Конкретные примеры Ф. я. приведены в статьях Аксиоматическая теория множеств, Арифметика формальная, Предикатов исчисление, Типов теория.

С семантич. точки зрения выделяют следующие виды языковых выражений: переменные, термы, формулы. Каждой переменной сопоставляется (при семантич. истолковании) нек-рая область ее допустимых значений область изменения переменной. Если у всех переменных область изменения оказывается одной и той же, то язык наз. односортным. В противном случае многосортным. В многосортном языке должны быть синтаксич. правила образования сортов, наз. также типами. Каждая переменная такого языка имеет вполне определенный тип. Семантич. правила должны сопоставлять каждому типу нек-рую область Переменные, имеющие тип лпробегают

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985