Математическая энциклопедия - синтаксис

в математической логике описание и изучение формальной аксиоматич. теории как чисто знаковой системы (в отличие от семантики, исследующей смысл и содержание объектов формальной теории). Различие между С. и семантикой особенно существенно в основаниях математики, когда изучаются формальные теории, семантика к-рых интуитивно недостаточно ясна. В этом елучае описание и исследование С. формальной теории часто может быть осуществлено гораздо более надежными и интуитивно убедительными средствами в рамках нек-рой метатеории и, таким образом, может служить обоснованием и косвенным разъяснением существенных черт сложной семантики изучаемой теории. Напр., в аксиоматической теории множеств известный результат К. Гёделя (К. Godel) о совместности аксиомы выбора можно трактовать как синтаксическое и финитно доказываемое утверждение о том, что если формальная теория Цермело Френкеля непротиворечива, то она остается таковой и после присоединения аксиомы выбора.

Вне рамок оснований математики в доказательств теории различие между С. и семантикой не столь существенно. Употребляются т. н. полуформальные системы, понятие вывода в к-рых зависит от тех или иных семантич. соглашений. Формальные языки могут определяться существенно теоретико-множественно, с привлечением бесконечно длинных формул н т. п. С другой стороны, для формальных языков с ограниченными выразительными возможностями типа языков комбинаторной логики или алгоритмических языков семантика может быть точно сформулирована в чисто синтаксических терминах самого языка.

Лит.:[1] Cаrnар R., Logische Syntax der Sprache, Wien, 1934; [2] Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1960; [3] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957. А. Г. Драгалин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985