Математическая энциклопедия - сингулярный интеграл

интеграл

с особенностью в точке х, определенный для интегрируемой на [a, b]функции f(x), ядро к-рого Ф n(t, х).удовлетворяет условиям: для любого d>0 и произвольного интервала

и

причем Ф x(d) зависит только от d и хи не зависит от п. Если условия (1), (2) и (3) выполняются равномерно на x-множестве , то интеграл In(f, х).наз. равномерно сингулярным на Е. Наиболее изучены свойства т. н. положительных ядер (Ф n(t, х)0), Дирихле ядер

ядер Фейера

ядер Пуассона Абеля

ядер, порожденных различными методами суммирования ортогональных разложений по ортонормирован-ным полиномам.

Понятие "С. и." введено А. Лебегом [1], указавшим на его важность при исследовании вопросов сходимости. Так, к исследованию сходимости С. и. приводят вопросы сходимости и суммируемости тригонометрич. рядов Фурье, рядов по ортогональным многочленам, а также разложений по общим ортогональным системам.

А. Лебегом был установлен критерий сходимости С. и. для непрерывных функций f(х).с ограниченной вариацией. Д. К. Фаддеев [2] установил необходимые и достаточные условия для сходимости С. и. в точках Лебега суммируемой функции f(x). Так как данные А. Лебегом и Д. К. Фаддеевым условия сходимости С. и. трудно проверяемы для конкретных С. и., то целый ряд работ был посвящен отысканию эффективных достаточных условий сходимости С. и. как в отдельных точках, так и для равномерной сходимости. Для сходимости С. и. в точках непрерывности достаточна ограниченность нормы оператора In(f, х), т. е. ограниченность интеграла

а для сходимости в точках Лебега необходимо существование т. н. "горбатой мажоранты" для ядра Ф n(t, х), т. е. такой интегрируемой функции , к-рая монотонно возрастает на [ а, х), монотонно убывает на ( х, b]и для почти всех

причем

Лит.:[1] Lebesque H., "Ann. Fac. sci. Univ. Toulouse", 1909, v. 1, p. 25 117; [2] Фаддеев Д. К., "Матем. сб.", 1936, т. 1, с. 351-68; [3] Коровкин П. П., Линейные операторы и теория приближений, М., 1959; [4] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974; [5] Алексич Г., Проблемы сходимости ортогональных рядов, пер. с англ., М., 1963; [6] Ефимов А. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1960, т. 24, в. 5, с. 743-56; [7] Теляковский С. А., там же, 1964, т. 28, в. 6, с. 1209-36.

А. В. Ефимов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985