Математическая энциклопедия - сингулярные гомологии

гомологии, определяемые исходя из сингулярных симплексов топология, пространства Xтаким же образом, как обычные (симплициальные) гомологии (и когомологии) полиэдра исходя из линейных симплексов. Под сингулярным симплексом sⁿ понимается непрерывное отображение n-мерного стандартного симплекса Dⁿ в X, причем образ sⁿ обычно наз. носителем sⁿ и обозначается |sⁿ|. Сингулярные цепи это формальные линейные комбинации сингулярных симплексов коэффициентами в абелевой группе G. Они образуют группу Sn(X; G), изоморфную прямой сумме групп G0n=G (по всем sⁿ). Группы цепей объединяются в сингулярный цепной комплекс S*(X; G).с граничным гомоморфизмом д:Sn(X; G)Sn-1(X; G), определяемым соотношением

где композиция с sⁿ стандартного наложения D^n-1 на i-ю грань Dⁿ. Как обычно, циклами считаются цепи, принадлежащие ядру, а границами цепи, содержащиеся в образе д ⁿ. Группа n-мерных сингулярных гомологии определяется как факторгруппа группы n-мерных циклов по подгруппе границ.

Если , то группы определяются подкомплексом в S*(X; G), состоящим из всех цепей с носителями в А, а группы пары соответствующим факторкомплексом. Имеет место точная гомологич. последовательность

являющаяся ковариантным функтором на категории пар (X, А).топологич. пространств и их непрерывных отображений.

Гомоморфизм d определяется границей в Xцикла пары (X, А), представляющего соответствующий элемент из . С. г.гомологии с компактными носителями в том смысле, что группы Xравны прямому пределу гомологии компактных .

Сингулярные когомологии определяются дуальным образом. Комплекс коцепей S*(X; G).определяется как комплекс гомоморфизмов в Gкомплекса целочисленных сингулярных цепей S*(X;). Менее формально, коцепи это функции x, определенные на сингулярных симплексах и принимающие значения в G, а пограничный гомоморфизм dопределяется формулой

Сингулярные когомологии это факторгруппы групп n-мерных коциклов (ядер d).по подгруппам кограниц (образов d). Когомологии подпространства Асовпадают с когомологиями ограничения S*(X; G).на А, в то время как когомологии пары с подкомплексом в S*(X; G), состоящим из всех коцепей, обращающихся в нуль на сингулярных симплексах из А. Имеет место точная последовательность

являющаяся контравариантным функтором (X, А). Отображение d определяется кограницей в Xкоцикла из А, представляющего нужный элемент .

Гомологии и когомологии с коэффициентами в произвольной группе Gмогут быть выражены через целочисленные гомологии с помощью формул универсальных коэффициентов. Когомологии с коэффициентами в группе Gсвязаны с целочисленными когомологиями формулами универсальных коэффициентов только для конечно порожденных групп G.

В категории полиэдров сингулярная теория эквивалентна симилициальной (а также клеточной). Этим обычно устанавливается топологич. инвариантность последних. Однако значение групп С. г. этим не исчерпывается. Имея простое описание, они применимы в достаточно широких категориях топологич. пространств, гомотопически инвариантны. Естественные связи с теорией гомотопий делают сигнулярную теорию незаменимой в гомотопич. топологии.

Однако, хотя группы С. г. определены для любых топологич. пространств без каких-либо ограничений, их применение оправдано лишь при существенных ограничениях типа локальной стягиваемости или гомологической локальной связности. Сингулярные цепи, будучи по своей природе "слишком" линейно связными, не несут в себе информацию о "непрерывных" циклах, если они не являются "достаточно" линейно связными. Возможны и другие "аномалии" (напр., гомологии компактных подпространств евклидова пространства могут отличаться от нуля в сколь угодно высоких размерностях, гомологии и когомологии пары (X, А).могут неизоморфно отображаться при отображении Xна факторпространство X/А, отвечающее замкнутому подмножеству , и т. п.). Поэтому в общих категориях топологич. пространств вместо сингулярных обычно используются когомологии Александрова Чеха и ассоциированные с ними гомологии. Эти теории свободны от указанных недостатков и совпадают с сингулярной всякий раз, когда ее применение не вызывает сомнений.

Лит.:[1]Дольц А., Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1976; [2] Масси У., Теория гомологии и когомологии, пер. с англ., М., 1981, гл. 8-9; [3] Скляренко Е. Г., "Успехи матем. наук", 1979, т. 34, в. 6, с. 90-118; [4] Мassеу W., Singular homology theory, N. Y., 1980.

Е. Г. Скляренко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985