Математическая энциклопедия - сингулярное распределение

распределение вероятностей в , сосредоточенное на множестве нулевой меры Лебега и приписывающее каждому одноточечному множеству нулевую вероятность.

На прямой определение С. р. эквивалентно следующему: распределение сингулярно, если соответствующая функция распределения непрерывна, а ее множество точек роста имеет нулевую меру Лебега.

Примером С. р. на прямой может служить распределение, сосредоточенное на канторовом множестве, т. н. канторово распределение, к-рое можно описать следующим образом. Пусть Х 1, X2, . . .последовательность независимых случайных величин, каждая из к-рых принимает значения 0 и 1 с вероятностями ¹/2. Тогда случайная величина

имеет канторово распределение, и его характеристич. функция равна

Пример С. р. в равномерное распределение на сфере положительного радиуса.

Свертка двух С. р. может быть либо сингулярной, либо абсолютно непрерывной, либо представлять собой смесь сингулярного и абсолютно непрерывного распределений.

Любое вероятностное распределение Рможет быть единственным образом представлено в виде

где Р d - дискретное, Р аабсолютно непрерывное, a Ps С. р., (разложение Лебега).

Иногда сингулярность понимается в более широком смысле: вероятностное распределение Fявляется С. р. по отношению к мере Р, если оно сосредоточено на множестве Nтаком, что P{N}=0. При таком определении каждое дискретное распределение является С. р. по отношению к мере Лебега.

По поводу сингулярных функций множеств см. также Абсолютная непрерывность функции множества.

Лит.:[1] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1907. В. Г. Ушаков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985