Математическая энциклопедия - синус-преобразование фурье

см. Фурье преобразование.

А-СИСТЕМА счетно ветвящаяся система множеств, т. е. семейство подмножеств множества X, занумерованных всеми конечными последовательностями натуральных чисел. А-С.. наз. регулярной, если . Последовательность элементов А-С., занумерованных всеми отрезками одной и той же бесконечной последовательности натуральных чисел, наз. цепью этой А-С. Пересечение всех элементов цепи наз. ее ядром, а объединение ядер всех цепей А-С.- ядром этой А-С., или результатом А- операции, примененной к этой А-С., или A-множеством, порожденным этой А-С. Всякая А-С. может быть регуляризована без изменения ядра (достаточно положить ). Если нек-рая система множеств, то ядра А-С., составленных из элементов системы , наз. Л-м ножествами, порожденными системой . А-множества, порожденные замкнутыми множествами топология, пространства, наз. А-множествами этого пространства.

Лит.:[1] Александров П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Куратовский К., Топология, пер. с франц., т. 1, М., 1966. Л. Г. Елъкин.

К-СИСТЕМА {T^t} -такой измеримый поток( К- поток) или каскад ( К- каскад) в Лебега пространстве, что существует измеримое разбиениеxфазового пространства со следующими свойствами; а) оно возрастающее (в более старой терминологии инвариантное) относительно {Т ^t}, то есть T^tx мельче x mod 0 при t>0; б) оно является двусторонним образующим для {Т ^t}, т. е. единственным mod 0 измеримым разбиением, к-рое мельче mod 0 всех T^tx, является разбиение на точки; в) единственным mod 0 измеримым разбиением, к-рое крупнее mod 0 всех T^tx, является тривиальное разбиение, единственный элемент к-рого все фазовое пространство.

Автоморфизм пространства с мерой, итерации к-рого образуют К-каскад, наз. К- автоморфизмом. Если {T^t} К-С., то все T^t с являются К-автоморфизмами; обратно, если для измеримого потока или каскада {T^t} хоть одно T^t является К-автоморфизмом, то {T^t} К-С. К-система обладает сильными эргодич. свойствами: положительная энтропия, эргодичность, перемешивание всех степеней, счетнократный лебеговский спектр (см. Спектр динамической системы, а также [2]).

Эндоморфизм пространства Лебега имеет вполне положительную энтропию, если любой его нетривиальный факторэндоморфизм имеет положительную энтропию. Среди таких эндоморфизмов содержатся как K-автоморфизмы (именно последние суть в точности автоморфизмы с вполне положительной энтропией), так и другие интересные объекты ( точные эндоморфизмы). Имеются обобщения К-С. в других направлениях: на случай бесконечной инвариантной меры (см. [6], [7], [11]) и для действия группы, отличной от и (см. [8] [10], [12]).

К-С. наз. также системами (потоками и т. д.) Колмогорова, к-рый впервые ввел их (см. [1]) под названием "квазирегулярных". Последнее подчеркивает аналогию с регулярными случайными процессами (см. [4]). Если случайный процесс {Xt}, стационарный в узком смысле слова, интерпретировать как динамич. систему, то значения процесса "в прошлом" определяют нек-рое измеримое возрастающее разбиение x наименьшее, относительно к-рого измеримы все Xt с t<0. Если x обладает свойствами б) и в) (закон "все или ничего"), то процесс наз. регулярным. В частности, вероятностное происхождение имеет простейший пример K-автоморфизма Бернулли автоморфизм.

Если у измеримого потока или каскада в пространстве Лебега одно из преобразований Т ^t изоморфно автоморфизму Бернулли, то и все они (при ) изоморфны автоморфизмам Бернулли; в этом случае динамич. система наз. бернуллиевской (см. [5]). Существуют К-С., не являющиеся бернуллиевскими. К-С. (даже бернуллиевские) естественно возникают не только в теории вероятностей, но и в других вопросах (алгебраической, геометрической и даже физич. природы; см. [2], [3], [5]).

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Докл. АН СССР", 1958, т. 119, № 5, с. 861-64; 1959, т. 124, №4, с. 754-55; [2] Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория, М., 1980; [3] Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 13, М., 1975, с. 129-262; [4] Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963; [5] Орнстейн Д., Эргодическая теория, случайность и динамические системы, пер. с англ., М., 1978; [6] Parry W., "Proc. Amer. Math. Soc.", 1965, v. 16, №5, p. 960-66; [7] Dugdale J. K., "Publ. math.", (Debrecen) 1967, t. 14, № 1/4, p. 79-81; [8] Соnze J. P., "Z. Wahrs-chemlichkeitstheorie und verw. Gebiete", 1972, Bd 25, H. 1, S. 11 30; [9] Вurtоn R. М., там же, 1979, Bd 47 H. 2, S. 207-12; [10] Dani S., "Amer. J. Math.", 1976 v. 98 № 1 p. 119-63; [11] Krengel U., SuchestonL., "Ann. Math. Statistics", 1969, v. 40, № 2, p. 694-96; [12] Кaminski В., "Bull. Acad. polon. sci. Ser. sci. math., astron. et phys.", 1978, v. 26, № 2, p. 95-97. Д. В. Аносов.

У-СИСТЕМА гладкая динамич. система (поток или каскад) с компактным фазовым многообразием, к-рое все является гиперболическим множеством. Диффеоморфизм, порождающий У-каскад, наз. У-д и ф-феоморфизмом. У-С. были введены Д. В. Аносовым (см. [1], [2]), поэтому иногда их наз. системами Аносова.