Математическая энциклопедия - синусоидальная спираль

плоская кривая, уравнение к-рой в полярных координатах имеет вид

При рациональном mС. с. является алгебраич. кривой. В частности, при m=1 окружность, при m=-1 равносторонняя гипербола, при m=¹/2 кардиоида, при m=-¹/2 парабола.

В общем случае для m>0 С. с. проходит через полюс и полностью помещается внутри круга радиуса а, При отрицательном mрадиус-вектор кривой может принимать сколь угодно большие значения и не проходит через полюс. С. с. симметрична относительно полярной оси, при рациональном m=p/q (где ри qвзаимно простые числа) имеет росей симметрии, проходящих через полюс.

При целом положительном m радиус-вектор С. с. является периодич. функцией с периодом 2p/m. При изменении j от 0 до 2p кривая состоит из m лепестков, каждый из которых располагается внутри угла, равного p/m. Полюс в этом случае кратная точка (см. рис.).

При дробном положительном m=p/q кривая состоит из рпересекающихся лепестков. При целом отрицательном то С. с. состоит из | т| бесконечных ветвей, к-рые могут быть получены инверсией спирали с т'=-т.

Лит.:[1] Савелов А. А., Плоские кривые, М., 1960.

Д. Д. Соколов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985