Математическая энциклопедия - сингулярное интегральное уравнение

уравнение, содержащее искомую функцию под знаком несобственного интеграла в смысле главного значения по Коши. В зависимости от размерности многообразия, по к-рому распространены интегралы, различают одномерные и многомерные С. и. у. По сравнению с теорией уравнений Фредгольма теория С. и. у. является более сложной. Так, напр., теории одномерных и многомерных С. и. у. как в смысле формулировок окончательных результатов, так и применяемых для их установления методов значительно отличаются друг от друга. Теория одномерных С. и. у. разработана более полно, причем ее результаты формулируются проще, чем аналогичные результаты в многомерном случае. Ниже в основном будет рассмотрен одномерный случай.

Важным классом одномерных С. и. у. являются уравнения с ядром Коши:

где а, b, k, f - известные функции, из к-рых kядро Фредгольма (см. Интегральный оператор),j искомая функция, Г плоская линия, а несобственный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, т. е.

где Г e=Гle , le обозначает дугу t'tt " линии Г такую, что длины дуг tt' и tt " равны e.

Оператор К, определяемый левой частью равенства (1), наз. сингулярным оператором (иногда его наз. общим сингулярным оператором):

(2)

где I тождественный оператор, S - сингулярный интегральный оператор (иногда его наз. сингулярным интегральным оператором с ядром Коши), т. е.

V - интегральный оператор с ядром k(t,t).

Оператор K0=aI+bS наз. характеристической частью сингулярного оператора К, или характеристическим сингулярным оператором, а уравнение

(3)

характеристическим С. и. у., функции а, b - коэффициентами соответствующего оператора или уравнения.

Уравнение

наз. союзнымс уравнением (1), а оператор K'=aI+SbI+V'(V'интегральный оператор с ядром k(t, t)) - союзным с оператором К. В частности, К'0=аI+SbI является союзным с К 0.

Операторы К, К 0, К', К'0 или соответствующие им уравнения наз. нормального типа, если функции

А=а+b, В=а-b

не обращаются в нуль нигде на Г. В этом случае говорят также, что коэффициенты оператора или уравнения удовлетворяют условию нормальности.

Пусть ,класс функций {f}, определенных на Г и удовлетворяющих условию

Когда предполагается, что функция f принадлежит классу Ha (Г) при нек-ром допустимом значении a и не требуется знания численного значения a, то будет употребляться обозначение или , если из контекста ясно, о какой линии Г идет речь.

Множество Нназ. функциональным классом Гёльдера; если , то говорят, что f удовлетворяет условию Гёльдера или что f является H-функцией.

Пусть G - комплекснозначная непрерывная функция, не обращающаяся в нуль на ориентированной замкнутой простой гладкой линии Г, и

(4)

где [ ] Г обозначает приращение функции, заключенной в скобках, при однократном обходе линии Г в положительном направлении. Целое число наз. индексом функции G:.

Решение характеристического и союзного с ним С. и. у. Пусть Г простая замкнутая, ориентированная гладкая линия, на к-рой положительное направление выбрано так, что оно оставляет конечную область с границей Г слева, начало координат лежит в этой области и , причем а, b удовлетворяют условию нормальности. Пусть, далее определено равенством (4), в к-ром

(5)

Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Если , то уравнение (3) разрешимо в классе H(Г) при любой правой части и все его H-решения представляются (см. [1], [2]) формулой

где

произвольный многочлен степени (p-1=0). Если , то уравнение (3) разрешимо в классе Н(Г).тогда и только тогда, когда правая часть f удовлетворяет условиям

При соблюдении этих условий уравнение (3) имеет единственное H-решение, определяемое формулой (6), в к-рой .

2) Союзное с (3) С. и. у.

разрешимо в классе H при любой правой части , если , и все его H-решения представляются формулой

Если же , то уравнение (7) разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть gудовлетворяет условиям:

при соблюдении к-рых решение дается формулой (8), где нужно положить

Теоремы Нётера. Пусть v и v' числа линейно

независимых решений однородных уравнений K'0j=0 и K'0y=0 соответственно. Тогда разность v-v' наз. индексом опера тора K0 или уравнения K0j=0:

ind K0 = vv'.

Теорема 1. Однородные С. и. у. K0j=0 и K'0y=0имеют конечное число линейно независимых решений.

Теорема 2. Необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородного уравнения (3) заключаются в том, что

где y1, . . ., yg , полная система линейно независимых решении союзного однородного уравнения K'0y=0. Теорема 3. Индекс оператора К 0 равен индексу функции G, определяемой равенством (5), т. е.

(9)

Эти теоремы остаются в силе и в случае общего С. и. у. (1), то есть в сформулированных теоремах операторы К 0, К'0 можно заменить операторами К, К'. Надо только иметь в виду, что в случае общих С. и. у. числа v и v', вообще говоря, оба отличны от нуля, в отличие от характеристических С. и. у., когда одно из этих чисел обязательно равно нулю.

Теоремы 1-3 наз. теоремами Нётера, в честь Ф. Нётера (F. Noether), впервые доказавшего их [9] в случае одномерного С. и. у. с Гильберта ядром:

Эти теоремы аналогичны теоремам Фредгольма (см. Фредгольма уравнение).и отличаются от них только тем, что числа линейно независимых решений однородного уравнения и союзного с ним уравнения, вообще говоря, различны, т. е. тогда как индекс уравнения Фредгольма всегда равен нулю, С. и. у. может иметь отличный от нуля индекс.

Формулы (6), (8) так же, как теоремы Нётера, остаются в силе и в случае, когда состоит из конечного числа гладких взаимонепересекающихся замкнутых линий. В этом случае в равенстве (4) символ [ ] Г обозначает сумму приращений выражения, заключенного в скобках при обходе отдельных линий . Случай же, когда Гконечная совокупность гладких разомкнутых взаимонепересекающихся линий , требует специального рассмотрения.

Если функция j является H-функцией внутри каждой из закрытой части линий , не содержащей концов этой линии, вблизи же любого конца спредставима в виде , где j* является H-функцией в окрестности с, включая с, то говорят, что j принадлежит классу H*. Если и решения уравнений (3), (7) разыскиваются в классе H*, то можно так определить число и функцию w, что и в этом случае остаются в силе формулы (6), (8). Далее, если соответствующим образом определить подклассы класса H*, в к-рых разыскиваются решения данного и союзного с ним С. и. у., то остаются н силе и теоремы Нётера (см. [1]).

Указанные выше результаты обобщены в различных направлениях. Показано (см. [1]), что при нек-рых условиях они остаются справедливыми и в случае кусочно гладкой линии Г (т. е. когда Г-объединение конечного числа гладких разомкнутых дуг, к-рые могут попарно пересекаться только по своим концам). С. и. у. исследованы также в функциональных пространствах Лебега Lp (Г).и L р (Г ,r), где р>1, а r нек-рый вес (см. [4] [7]). В работах [4] [6] приведены результаты, к-рые непосредственно обобщают выше сформулированные утверждения.

Пусть уравнение простой спрямляемой линии Г есть , где s дуга этой линии, отсчитываемая от нек-рой фиксированной точки на ней, g длина Г. Говорят, что функция f, определенная на Г, почти всюду конечна, измерима, интегрируема и т. д., если функция f(t(s)).на сегменте [0, g] обладает соответствующим свойством. Интеграл Лебега от f на Г определяют равенством

Через Lp (Г).обозначается множество измеримых на Г функций таких, что |f|^p интегрируема на Г. Функциональный класс , превращается в банахово пространство, если норму элемента f определить равенством

Если в уравнениях (3), (7), в к-рых равенства соблюдаются почти всюду, коэффициенты a, b непрерывны и удовлетворяют условию нормальности, , p>1, то остаются в силе утверждения 1) и 2), если в них класс Нзаменить классом L р (Г), р>1. Далее, если решения уравнения Kj=f, где оператор Кимеет вид (2), разыскиваются в банаховом пространстве Lp (Г), р>1, а решения союзного однородного сним уравнения K'y=0 - в пространстве L Р' (Г), где р'=р/( р-1), то остаются в силе и теоремы Нётера, причем Vможет быть любым вполне непрерывным оператором в Lp (Г).

Когда Г является конечной совокупностью разомкнутых линий или Г замкнута, но коэффициенты С. и. у. терпят разрывы, то решения уравнений часто разыскиваются в весовых функциональных пространствах

. При определенных условиях относительно весовой функции р остаются справедливыми результаты, аналогичные вышеприведенным .

Задача регуляризации. Одной из основных задач, возникающих при построении теории С. и. у., является задача регуляризации, т. е. задача приведения С. и. у. к уравнению Фредгольма.

Пусть Еи Е 1 - банаховы пространства, к-рые могут и совпадать, А - линейный ограниченный оператор . Ограниченный оператор В наз. левым регуляризатором оператора. A, если BA=I+V, где I, V - тождественный и вполне непрерывный операторы в Е. Если уравнения Aj=f и ВАj=Bf эквивалентны, каков бы ни был элемент , то Вназ. левым эквивалентным регуляризатором оператора А. Ограниченный оператор Вназ. правым регуляризатором оператора А, если AB=I1+V1, где I1, V1 тождественный и вполне непрерывный операторы в E1 соответственно. Если при любом уравнения Aj=f и ABy=f одновременно разрешимы или неразрешимы, причем в случае разрешимости между их решениями существует связь j=By, то Вназ. правым эквивалентным регуляризатором оператора A. Если В является одновременно левым и правым регуляризатором оператора А, то его наз. двусторонним регуляризатором, или просто регуляризатором, оператора A. Говорят, что оператор Адопускает регуляризацию левую, правую, двустороннюю, эквивалентную, если существует его регуляризатор (соответственно левый, правый, двусторонний, эквивалентный).