Математическая энциклопедия - сингулярная функция

отличная от постоянной непрерывная ограниченной вариации функция, производная к-рой почти всюду на рассматриваемом отрезке равна нулю. С. ф. входят в качестве слагаемых в Лебега разложение функций ограниченной вариации. Напр., всякая непрерывная функция ограниченной вариации f(x).на отрезке [а, b]единственным образом представима в виде суммы f(x).j(х)+r (х), где j(х).абсолютно непрерывная функция, удовлетворяющая условию j(а)=f(а), a r(x).есть С. ф. или тождественный нуль.

П ример. Пусть Х=[0, 1]. Любое может быть представлено в виде

где ai=0, 1 или 2, i=l, 2, ... При этом если , где С канторово множество, то ai=0 или 2, t=l, 2, .... Пусть п=п (х)-первый индекс, при к-ром an=1; если таких индексов нет, то полагают . Функция

является монотонной С. ф.

Лит.: [1] Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.-Л., 1934; [2] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974; [3] Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953.

Б. И. Голубов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985