Математическая энциклопедия - формальный степенной ряд

над кольцом Аот коммутирующих переменных T1, . . ., Т п - алгебраич. выражение вида

где Fk - форма от T1, . . ., Т п с коэффициентами из Астепени k. Минимальное значение k, для к-рого наз. порядком ряда F, а форма Fk наз. начальной формой ряда.

Если

и

два Ф. с. р., то, по определению,

и

где

Относительно этих операций множество .[[T1, ..., Т п]]всех Ф. с. р. образует кольцо. Многочлен где Fk- форма степени k,

отождествляется с Ф. с. р. где Ck=Fk при и Ck =0 при k>n. Это определяет вложение i кольца многочленов А[ Т 1. .... Т п] в кольцо А[[Т 1,..., Tn]]. В кольцо А[[Т 1,..., Tn]] определена топология, для к-рой идеалы

образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Эта топология отделима, кольцо А[[Т 1...., Tn]]полно относительно этой топологии, и образ вложения i всюду плотен в А[[Т 1,..., Tn]].Относительно этой топологии Ф. с. p. . является пределом своих частичных сумм

Пусть А- коммутативное кольцо с единицей. Тогда таково же и кольцо A[[Т 1,..., Tn]].Если А-область целостности, то и A[[Т 1,..., Tn]]. область целостности. Ф. с. p. Fобратим в кольце А[[Т 1...., Tn]]тогда и только тогда, когда РД обратим в А. Если А - нётерово, то и A[[Т 1...., Tn]]также нётерово. Если А - локальное кольцо с максимальным идеалом m, TO A[[Т 1...., Tn]]-локальное кольцо с максимальным идеалом ( Т 1,..., Tn).

Если локальное кольцо Аотделимо и полно в адической топологии, то в кольце A[[Tlt..., Tn справедлива подготовительная теорема Вейерштрасса. Пусть F Ф. с. р. такой, что для нек-рого kформа Fk содержит член где и пусть k- минимальный индекс с этим свойством. Тогда F=UP, где U- обратимый Ф. с. р. и Р- многочлен вида где коэффициенты а i принадлежат максимальному идеалу кольца А[[Т 1,..., Tn]]. Элементы Uи Роднозначно определены рядом F.

Кольцо Ф. с. р. над полем или дискретно нормированным кольцом факториально.

Рассматриваются также кольца Ф. с. р. от некоммутирующих переменных.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [2] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, т. 2, пер. с англ., М., 1963.

Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985