Математическая энциклопедия - гладкий морфизм

схемобобщение на случай схем понятия семейства неособых алгебраических многообразий. В классич. случае морфизма комплексных алгебраич. многообразий это понятие сводится к понятию регулярного отображения (субмерсии) комплексных многообразий. Конечно представленный (локально) морфизм схем наз. гладким морфизмом, если f есть плоский морфизм и если для любой точки слой будет гладкой схемой (над полем k(у)). Схема X наз. гладкой схемой над схемой Y, или гладкой Y-схемой, если структурный морфизм является Г. м.

Примером гладкой Y-схемы служит аффинное пространство . Частный случай понятия Г. м. этальный морфизм. Обратно, всякий Г. м. разлагается локально по X в композицию этального морфизма и проекции

Композиция Г. м. снова есть Г. м.; аналогично обстоит дело с произвольной заменой базы. Г. м. характеризуется своим дифференциальным свойством: плоский конечно представленный морфизм будет Г. м. тогда и только тогда, когда пучок относительных дифференциалов есть локально свободный пучок ранга в точке х.

Понятие Г. м. аналогично понятию расслоения в смысле Серра в топологии. Напр., Г. м. комплексных алгебраич. многообразий является локально тривиальным дифференцируемым расслоением. В общем случае выполняется следующий аналог аксиомы о накрывающей гомотопии: для любой аффинной схемы Y', ее замкнутой подсхемы определяемой нильпотентным идеалом, и любого морфизма канонич. отображение сюръективно.

Если есть Г. м., а локальное кольцоJY,y точки является регулярным (соответственно нормальным, приведенным), то таким же будет и локальное кольцо JY,y любой точки

Лит.:[1] Grоthеndiесk A., "Publ. math. IHES", 1967, t. 32; [2] Revetements etales et groupe fondamental, В., (971. В. И.