Математическая энциклопедия - главное однородное пространство

главный G-объект в категории алгебраич. многообразий или схем. Если S - схема, а Г схема групп над S, то главный G-объект в категории схем над Г наз. Г. о. п. над S. В случае, когда S - спектр поля kи Г алгебраическая k-группа, Г. о. п. над Г есть алгебраическое k-многообразие V, на к-ром Г действует (слева), и при замене k на его сепарабельное алгебранч. замыкание каждая точка определяет изоморфное отображение многообразий и . Г. о. п. Vтривиально тогда и только тогда, когда V(k).не пусто. Множество классов, изоморфных Г. о. п., над гладкой алгебранч. группой Г может быть отождествлено с множеством Галуа когомологий(k, Г). В общем случае множество классов Г. о. п. над S-схемой групп Г совпадает с множеством одномерных неабелевых когомологий где некоторая топология Гротендика на схеме S[2].

В ряде случаев Г. о. п. вычислено. Если k конечное поле, то каждое Г. о. п. над связной алгебраической k-группой является тривиальным (теорема Ленга). Это же утверждение верно, если k поле р-адических чисел, а Г односвязная и полупростая группа (теорема Кнезера). Если мультипликативная S-схема групп, то множество классов Г. о. п. над Г совпадает с Пикара группой схемы S. В частности, если S - спектр поля, то эта группа тривиальна. Если аддитивная S- схема групп, то множество классов Г. о. п. над Г совпадает с группой одномерных когомологий структурного пучка схемы S. В частности, это множество тривиально, если S - аффинная схема. В случае, когда k - глобальное поле (т. е. поле алгебраич. чисел или поле алгебраич. функций от одного переменного), изучение множества классов Г. о. п. над алгебраической k-группой Г основано на исследовании множества Тейта Шафаревича III (Г), состоящего из Г. о. п. над Г, имеющих рациональные точки во всех пополнениях относительно нормировании поля k. В случае, когда Г абелева группа над полем k, множество классов Г. о. п. над Г образует группу (см. Вейля Шатле группа).

Лит.: [1] Серр Ж.-П., Когомологий Галуа пер с франц М., 1968; [2] Dem azure M., Gabriel P., Groupes algebriques, t. 1, P.-Amst., 1970; [3] Lang S., Tate J "Amer. J. Math.", 1958, v. 80, p. 659 84.

В. Е. Воскресенский, И. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985