Математическая энциклопедия - голоморфное отображение

отображение области в область , при к-ром

где все координатные функции голоморфны в D. При Г. о. совпадает с голоморфной функцией (см. Аналитическая функция).

Г. о. f наз. невырожденным в точке , если ранг якобиевой матрицы в точке z максимален (). Г. о. наз. невырожденным в области D, если оно невырождено во всех точках . При m=n невырожденность f эквивалентна условию

При невырожденное Г. о. есть конформное отображение. При невырожденное Г. о., вообще говоря, не сохраняет углов между направлениями. Если Г. о. f невырождено в точке и , то f локально обратимо, т. е. существуют окрестности и Г. о.

такие, что для всех . Если Г. о. f взаимно однозначно отображает Dна f(D).и т=п, то f невырождено в D;при m>n это неверно, напр. . Если и f невырождено

в D, то образ области D тоже является областью в С ^m; прп m>1 принцип сохранения области не выполняется для отображений, вырожденных в нек-рых точках, напр. ,

Если комплексные многообразия, и атласы их локальных систем координат гомеоморфизмы; см. Многообразие), то отображение наз. голоморфным, если есть Г. о. для всех . Аналогично определяются Г. о. комплексных пространств (см. Аналитическое отображение). См. также Виголоморфное отображение.

Лит.:[1] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969. Е. Д. Соломенцее, Е. М. Чирка.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985