Математическая энциклопедия - голоморфности область

область Dкомплексного пространства , для к-рой существует функция f(z), голоморфная в Dи не продолжаемая голоморфно в большую область; при этом Dназ. естественной областью определения функции f(z). Напр., естественной областью определения функции

служит единичный круг, к-рый поэтому является Г. о.

в . В всякая область есть Г. о. Напротив, в , , не всякая область есть Г. о. Так, никакая область вида , где Ккомпакт, содержащийся в D, не будет Г. о.

Область наз. голоморфно выпуклой, если для каждого множества существует такое содержащее Амножество , что для любой точки существует функция , голоморфная в Dи такая, что

Для того чтобы область Dбыла Г. о., необходимо и достаточно, чтобы она была голоморфно выпуклой (теорема Картана Туллена). Для того чтобы область Dбыла Г. о., необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки существовал барьер функция , голоморфная в D и не продолжимая голоморфно в точку . Напр., если Dпроизвольная область в , то функция есть барьер в любой точке , так что Dесть Г. о.; если D - выпуклая область в С ⁿ и

опорная плоскость в точке , то функция есть барьер в , и поэтому всякая выпуклая область в есть Г. о.

Пересечение Г. о. есть Г. о.; всякое биголоморфное отображение переводит Г. о. в Г. р.; сумма возрастающей последовательности Г. о. есть Г. о. (теорема БенкеШтейна).

Область наз. псевдовыпуклой, если функцияесть плюрисубгармоническая. функция в D, где есть расстояние от точки до Для того чтобы область была Г. о., необходимо и достаточно, чтобы она была псевдовыпуклой (теорема Ока). Достаточность условия в теореме Ока составляет содержание проблемы Леви, поставленной Э. Леви (Е. Levi, в 1911). Для она была решена К. Ока (К. Ока, 1942); для эта проблема решена независимо К. Ока, Ф. Норгэ, Г. Бремерманом (F. Norguet, H. Bremermann, 1953-1954).

Г. о. с достаточно гладкой границей допускают локальное описание. Область наз. псевдовыпуклой в точке , если существует такая окрестность Vточки и такая определенная в Vдей-ствительна-я функция класса , что: а) и б) на плоскости

форма Гессе

Если в условии б) имеет место строгое неравенство для всех рассматриваемых векторов , то область Dназ. строго псевдовыпуклой в точке гД. Область Dназ. (строго) псевдовыпуклой всмысле Леви, если она (строго) псевдовыпукла в каждой точке .

Если область строго псевдовыпукла в смысле Леви, то она псевдовыпукла (теорема Леви).

Г. о. функции , заданной в первоначальной окрестности , может быть построена при помощи разложений в ряды Тейлора с использованием принципа голоморфного продолжения; при этом может оказаться, что в построенной области голоморфно продолженная функция неоднозначна. Чтобы сделать функцию однозначной, необходимо расширить понятие области. Это достигается путем введения римановых областей ( наложения областей, неоднолистных областей) над (римановы области над наз. римановыми поверхностями). Понятие Г. о. распространяется и на римановы области и даже на объекты более общей структуры комплексные многообразия и комплексные пространства. Обобщение понятия Г. о. приводит к Штейна пространствам.

Лит.:[1] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976; [3] Xёрмандер Л., Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, пер. с англ., М.. 1968.

В. С. Владимиров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985