Математическая энциклопедия - голувева - привалова теорема

если f(z) комплексная суммируемая функция на замкнутой спрямляемой жордановой кривой L, расположенной в плоскости комплексного переменного z, то для существования регулярной во внутренней области D, ограниченной кривой L, функции F(z), угловые граничные значения к-рой совпадают с f(z) почти всюду на L, необходимо и достаточно, чтобы

.

Эти условия наз. условиями ГолубеваПривалова. В. В. Голубевым [1] доказана их достаточность, а И. И. Приваловым [2] необходимость. Иначе говоря, условия (1) необходимы и достаточны для того, чтобы интеграл типа Коши Лебега (см. Коши интеграл) F(z), построенный для функции и кривой L:

обращался в интеграл Коши Лебега.

В более общей постановке, пусть m, комплексная борелевская мера на L. Тогда, для того чтобы интеграл типа Коши Стилтьеса

обращался в интеграл Коши Стилтьеса, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись обобщенные условия ГолубеваПривалова

Иначе говоря, условия (2) необходимы и достаточны для существования регулярной в Dфункции F(z).такой, что ее угловые граничные значения почти всюду по мере Лебега на Lсовпадают с

где угол между положительным направлением оси абсцисс и касательной к L в точке производная меры m по мере Лебега s (длина дуги) на L.

, Г.П. т. имеет важное значение в теории граничных свойств аналитических функций.

Лит.:[1] Голубев В. В., Однозначные аналитические функции с совершенным множеством особых точек, М., 1916 (см. также его кн.: Однозначные аналитические функции. Авто-морфные функции, М., 1961); [2] Привалов И. И., Интеграл Cauchy, Саратов, 1918; [3] его же, Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.-Л., 1950.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985