Математическая энциклопедия - голономии группа

одна из характеристик связности в расслоенном пространстве. Г. г. определяется для главного расслоенного многообразия Р со структурной группой Ли Gи базой В(обладающей счетным базисом), в к-ром задана инфинитезимальная связность Г. Одновременно она определяется для любого присоединенного к Ррасслоенного многообразия Е, слоями к-рого являются экземпляры нек-рого пространства Fпредставления группы Ли G.

Связность Г в Р (соответственно в Е).определяет для любой кусочно гладкой кривой Lбазы Визоморфное отображение ГLдруг на друга слоев, соответствующих началу и концу кривой L. Каждой кусочно гладкой замкнутой кривой Lбазы В, начинающейся и оканчивающейся в точке , соответствует автоморфизм слоя Gx (соответственно ) над точкой х. Множество этих автоморфизмов образует группу Ли , которая наз. группой голономии связности Г в точке х.

Если база (линейно) связна, то и изоморфны между собой для любых и в В. Поэтому можно говорить о группе голономии Ф линейно связного многообразия Р(или Е).со связностью Г.

Г. г. Ф х является подгруппой структурной группы G. В случае линейной связности в Рэту подгруппу можно определить непосредственно. Пусть задана точка в слое над точкой х. Совокупность элементов таких, что точки соединимы горизонтальными кривыми в Р, образует подгруппу группы G, изоморфную .

Ограниченной (суженной) Г. г. наз. подгруппа Г. г. , порожденная замкнутыми кривыми, гомотопными нулю. Она совпадает с линейно связной компонентой единичного элемента Г. г. , при этом не более чем счетно.

Роль Г. г. в дифференциальной геометрии расслоенных пространств выясняют следующие теоремы о линейных связностях в Р.

Теорема о приведении связности. Пусть главное расслоенное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счеткости; Ф Г. г. заданной в Рсвязности Г. Тогда структурная группа Gприводима к своей подгруппе Ф, а связность Г приводима к связности в приведенном расслоении , Г. г. к-рого совпадает с Ф.

Теорема о голономии. Алгебра голономии (алгебра ограниченной Г. г.) является подалгеброй алгебры G, порожденной всеми векторами , где форма кривизны в точке у, у прооегает множество, каждая точка к-рого может быть соединена с исходной точкой y0 горизонтальным путем, произвольные горизонтальные векторы.

Лит.:[1] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2] Бишоп Р. Л., Криттенден Р. Геометрия многообразий, пер. с англ., М., 1967; [3] Стернбсрг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970.

Г. Ф. Лаптев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985