Математическая энциклопедия - кюннета формула
Связанные словари
Кюннета формула
формула, выражающая гомологии (или когомологии) тензорного произведения комплексов или прямого произведения пространств через гомологии (когомологии) сомножителей.
Пусть ассоциативное кольцо с единицей, Аи С - цепные комплексы соответственно правых и левых -модулей. Пусть комплекс, ассоциированный с тензорным произведением комплексов Аи Снад Если
то имеет место точная последовательность градуированных модулей
где а гомоморфизм степени 0, a b степени -1 (см. [2]). Для конечных комплексов имеется аналогичная точная последовательность с гомоморфизмом b степени +1. Если (напр., Аили С - плоский -модуль) и наследственно, то последовательность (1) существует и расщепляется [2], [3], так что
Эта формула наз. формулой Кюннета; иногда формулой, или соотношением, Кюннета называют и точную последовательность (1). Имеет место обобщение формулы (1), в к-ром тензорное произведение заменяется произвольным двойным функтором Т( А, С).на категории -модулей со значениями в той же категории, ковариантным по каждому аргументу. Рассматривается также случай функтора Т, ковариант-ного по Аи контравариантного по С. В частности, функтор приводит к формуле, выражающей когомологии Н*( Нот( А, С)), где А - правый цепной, а С - левый коцепной комплексы над через а именно, если наследственно и (напр., Асвободен), то имеет место расщепляемая точная последовательность
где b' гомоморфизм степени 0, а b' степени +1 (см. [2], [3]).
Пусть X, Y - топологич. Пространства, a L, М - модули над кольцом главных идеалов R, причем Tor1(L, M) = 0. Тогда сингулярные гомологии пространств связаны следующей расщепляемой точной последовательностью
где a гомоморфизм степени 0, а b степени -1. Если предположить дополнительно, что либо все и либо все и М конечно порождены, то аналогичная точная последовательность имеется для сингулярных когомологий:
причем a гомоморфизм степени 0, а b степени + 1. Например., если R - поле, то
а если при этом все или все конечномерны, то
Имеются также аналогичные формулы для относительных гомологии и когомологий [3], [4].
В случае L=M=R модуль обладает структурой косого тензорного произведения алгебр, при этом a гомоморфизм алгебр. Таким образом, если и все или все конечно порождены, то имеет место изоморфизм алгебр [3]:
В случае, когда Xи Y - конечные полиэдры, К. ф. позволяет найти числа Бетти и коэффициенты кручения полиэдра через аналогичные инварианты полиэдров Xи Y. Именно эти результаты были получены самим Г. Кюннетом [1]. В частности, если есть k-e число Бетти полиэдра Xи
многочлен Пуанкаре полиэдра X, то
В теории когомологий со значениями в пучке имеется следующий вариант К. ф. [6]. Пусть Xи Y - топологич. пространства со счетными базами, и пучки Фреше на Xи Y(см. Когерентный аналитический пучок), И пусть . (или ) ядерный п у ч о к (т. е. ядерное пространство для всех открытых ). Тогда на определен пучок Фреше такой, что где знак пополненного тензорного произведения, а открыты. Если пространства . и отделимы, то справедлива К. ф.
В частности, когерентные аналитич. учки на комплексных аналитич. ространствах X, Y со счетными базами являются ядерными и
где аналитические обратные образы пучков и при проекциях Таким образом, если отделимы, то
В алгебраической геометрии К. ф. обычно встречаются в таком варианте. Пусть Xи Y - алгебраические многообразия над полем k, а когерентные алгебраич. пучки на Xи Yсоответственно. Тогда [9]: