Математическая энциклопедия - лебега теорема

1) Л. т. в т е о р и и размерности: n-мерный куб для любого обладает конечным замкнутым -покрытием кратности и в то же время существует такое что любое конечное замкнутое -покрытие n-мерного куба имеет кратность Это утверждение привело в дальнейшем к определению основного размерност-ного инварианта Лебега размерностиdim Xнормального топологич. пространства X. Б. А. Пасынков.

2) Л. т. о предельном переходе под знаком интеграла; пусть на множестве Езадана последовательность измеримых функций fn(x), к-рая сходится почти всюду (или по мере) на E к функции f(x);если на Есуществует такая суммируемая функция Ф(х), что при всех пи х

то fn (х).и f(х).суммируемы на Еи

Впервые доказана А. Лебегом [1]. Важный частный случай Ф(x)=const и Е с конечной мерой, также называемый Л. т., был им получен раньше [2].

Иногда Л. т. называют теорему, впервые доказанную Б. Леви [3]: пусть на множестве Езадана неубывающая последовательность измеримых неотрицательных функций и

почти всюду, тогда

Лит.:[1] Lebesgue H., "Ann. Fас. sci. Univ. Toulouse sci. math, et sci. phys.", 1909, v. 1, p. 25-117; [2] Lebesgue H., "Ann. mat. pura ed appl.", (3), 1902, v. 7, p. 231; [3] Levi В., "Rend. 1st. Lombards sue lett", (2), 1906, v. 39, p. 775-80; [4] Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; [5] Натансон ИП., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974. Т. П. Лукашенко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985