Математическая энциклопедия - лебега размерность

размерность, определенная посредством покрытий; важнейший размерностный инвариантdim Xтопологич. пространства X, открытый А. Лебегом [1]. Он высказал гипотезу, что dim Iⁿ=n для re-мерного куба Iⁿ. Л. Брауэр [2] впервые доказал это, а также более сильное тождество: dim Iⁿ=IndIⁿ= п. Точное определение инварианта dim X(для класса метрич. компактов) дал П. С. Урысон, доказавший для пространств Xэтого класса тождество

(тождество Урысон а, см. Размерности теория), распространенное на класс всех сепарабельных метрич. пространств в 1925 В. Гуревичем (W. Hurewicz) и Л. А. Тумаркиным.

Для компактов XЛ. р. определяется как наименьшее целое число п, обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое -покрытие компакта X, имеющее кратность при этом -покрытием метрич. пространства наз. покрытие, все элементы к-рого имеют диаметр а кратностью конечного покрытия пространства Xназ. наибольшее такое целое число k, что существует точка пространства X, содержащаяся в kэлементах данного покрытия. Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства XЛ. р. наз. наименьшее целое число n такое, что ко всякому конечному открытому покрытию w пространства Xсуществует вписанное в него (конечное открытое) покрытие a кратности n+1. При этом покрытие a наз. вписанным в покрытие w, если каждый элемент покрытия a. является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия w.

Лит.:[1] Lebesgue H., "Math. Ann.", 1911, Bd 70. S. 166-68; [2] Brouwer L. E. J., "J. reine und angew. Math.", 1913, Bd 142, S. 146-52; [3] Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности..., М., 1973. П. С. Александров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985