Математическая энциклопедия - лебега пространство

пространство с мерой (где М - нек-рое множество, нек-рая -алгебра его подмножеств, именуемых измеримыми, а нек-рая мера, определенная на измеримых множествах), изоморфное "стандартному образцу", состоящему из нек-рого отрезка и не более чем счетного множества точек ai (в "крайних" случаях этот "образец" может состоять только из отрезка или только из точек ai).и снабженному следующей мерой то: на берется обычная Лебега мера, а каждой из точек ai приписывается мера при этом мера предполагается нормированной, т. е. "Изоморфизм" здесь можно понимать в строгом смысле или по mod 0; соответственно получается более узкий или более широкий вариант понятия Л. п. (в последнем случае можно говорить о Л. п. по mod 0). Можно дать определение Л. п. в терминах "внутренних" свойств пространства с мерой (см. [1] [3]).

Л. п.наиболее часто встречающийся тип пространств с нормированной мерой, ибо любое полное сепарабельное метрич. пространство с нормированной мерой (определенной на его борелевских подмножествах и затем обычным образом пополненной) является Л. п. Помимо свойств, общих всем пространствам с мерой, Л. п. обладает рядом специфических "хороших" свойств. Напр., любой автоморфизм булевой -алгебры с мерой порождается нек-рым автоморфизмом Л. п. М. При ряде естественных операций из Л. п. снова получается Л. п. Так, подмножество Аположительной меры в Л. п. Мсамо является Л. п. (его измеримыми подмножествами считаются те, которые измеримы в М, а мера прямое произведение конечного или счетного числа Л. п. есть Л. п. Другие свойства Л. п. связаны с измеримыми разбиениями.

Лит.:[1] Н а l m о s P. R., Neumann J., "Ann. Math.", 1942, v. 43, № 2, p. 332 50; [2] P о х л и н В. А., "Матем. сб.", 1949, т. 25, № 1, с. 107-50; [3] Н а е z е n d о n с k J., "Bull. Soc. math. Belg.", 1973, t. 25, № 3, p. 243-58.

Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985