Математическая энциклопедия - неймана ряд

ряд вида

где Бесселя функции (цилиндрич. функции 1-го рода),нек-рое число (действительное или комплексное). К. Нейман [1] рассмотрел частный случай, когда целое число. Он показал, что если аналитич. ция в замкнутом круге с центром в начале координат,внутренняя точка круга, С граница круга, то имеет место равенство

О пмногочлен степени относительно :

он обычно наз. многочленом Неймана n-го порядка (сам К. Нейман эту функцию называл бесселевой функцией 2-го порядка, ныне этим термином пользуются для обозначения одного из решений уравнения Бесселя).

Примеры представления функций с помощью Н. р.:

где любое не целое отрицательное число, Г гамма-функция. В теории интегральных уравнений Фредгольма

рядом Неймана наз. разложение резольвенты ядра К:

где итерированные ядра (ядра К), определяемые рекуррентными формулами

С помощью формулы (2) решение уравнения (1) при малых представляется равенством

Последний ряд также наз. рядом Неймана. Ряд (3) был рассмотрен К. Нейманом [2] в случае уравнения (1), к к-рому сводится задача Дирихле в теории потенциала.

Пусть Аограниченный линейный оператор, отображающий банахово пространство Xв себя, и пусть норма . Тогда оператор I-А, где I тождественный оператор, имеет единственный обратный ограниченный линейный оператор (I-A)^-1 допускающий разложение

к-рое в теории линейных операторов наз. рядом Неймана. Ряд (3) можно рассматривать как частный случай ряда (4).

Лит.:[1] Neumann К., Theorie der Besselschen Punctionen, Lpz., 1867; [2] его же, Untersuchungen uber das logarithmische und Newtonsche Potential, Lpz., 1877; [3] Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1, М, 1949; [4] Кузьмин Р. О., Бесселевы функции, 2 изд., Л.М., 1935; [5] Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [6] Трикоми Ф., Интегральные уравнения, пер. с англ., М., 1960. Б. В. Хведелидзе.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985