Математическая энциклопедия - обобщенная производная

типа функции распространение понятия производной на некоторые классы недифференцируемых функций. Первое определение принадлежит С. Л. Соболеву (см. [1], [2]), к-рый подошел к определению О. п. с точки зрения идеи введенного им понятия обобщенной функции.

Пусть локально интегрируемые функции на открытом множестве n-мерного пространства , т. е. интегрируемые по Лебегу на любом замкнутом ограниченном множестве . Тогда есть обобщенная частная производная от fпо xj на и пишут , если для любой бесконечно дифференцируемой функции , финитной в (см. Финитная функция),

Второе эквивалентное определение О. п. заключается в следующем. Если f можно видоизменить на множестве re-мерной меры нуль так, что видоизмененная функция (к-рая снова обозначается через f) будет локально абсолютно непрерывной по х j почти для всех (в смысле (п-1)-мерной меры) x ^j=(x1 . . ., xj-1 , xj + 1 , . .., х п), принадлежащих к проекции области на плоскость ;, то f имеет частную (в обычном смысле этого слова) производную почти всюду на . Если функция почти всюду на , то есть О. п. от fпо на . Таким образом, О. п. определена на почти всюду; если f непрерывна и имеет на непрерывную обычную производную , то последняя есть в то же время О. п. от fпо на

О. п. высшего порядка определяются по индукции. Они не зависят (почти всюду) от порядка дифференцирования.

Имеется третье эквивалентное определение О. п. Пусть для всякого замкнутого ограниченного функции и , заданные на W, обладают свойствами:

где функции непрерывны на вместе со своими частными производными ; тогда есть О. п. по от на (см. также Соболевапространство).

С точки зрения теории обобщенных функций О. п. определяется следующим образом. Пусть задана функция , локально суммируемая на , рассматриваемая как обобщенная функция, и пусть частная производная в смысле теории обобщенных функций. Если окажется, что представляет локально суммируемую на функцию, то тогда (по первому (исходному) определению) есть О. п.

Понятие О. п. вводилось и ранее (см., напр., [3], где рассматривались О. п. с интегрируемым квадратом на ). В дальнейшем многие исследователи приходили к этому понятию независимо от своих предшественников (см. по этому вопросу [4]).

Лит.:[1] Соболев С. Л., "Докл. АН СССР", 1935, т. 8, с. 291-94; [2] его же, "Матем. сб.", 1936, т. 1, с. 39-72; [3] Levi В., "Rend. Circolo mat. Palermo", 1906, v. 22, p. 293-359; [4] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969.

С. М. Никольский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985