Математическая энциклопедия - обобщенных функций пространство

пространство, сопряженное к пространству основных (достаточно хороших) функций. Важную роль здесь играют Фреше пространства (типа FS )и сильно сопряженные к ним (типа DFS). Пространство типа FS есть проективный предел компактной последовательности банаховых пространств и его сопряженное есть пространство типа DFS. Пространство типа DFS есть индуктивный предел компактной последовательности банаховых пространств и его сопряженное есть пространство типа FS. Пространства типов FS и DFSполные, сепарабельные, рефлексивные и монтелевские. В пространствах типов FS n DFS слабая и сильная сходимости совпадают.

Примеры пространств основных и обобщенных функций.

1) Пространства S и S'. Пространство основных (быстро убывающих) функций состоит из -функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными быстрее любой степени . Это пространство есть проективный предел последовательности банаховых пространств Sp , p=0, 1, . . ., состоящих из -функций, с нормой

причем вложение компактно; Sтипа FS.

Сопряженное пространство (пространство обобщенных функций медленного роста) есть индуктивный предел последовательности банаховых пространств причем вложение компактно, так что тина DFS. Из (слабой) сходимости последовательности обобщенных функций в S следует сходимость по норме функционалов в нек-ром S'p. В пространствах и операция преобразования Фурье есть изоморфизм.

2) Пространства и (О открытое множество в ). Пространство основных функций состоит из финитных в О -функций (см. Обобщенной функции носитель). Оно снабжается топологией строгого индуктивного предела (возрастающей) последовательности пространств типа , где строго возрастающая последовательность открытых множеств, исчерпывающая Пространство есть проективный предел (убывающей) последовательности банаховых пространств состоящих из функций с носителем в , с нормой причем вложение компактно. Пусть пространство, (сильно) сопряженное с D(О); . Последовательность основных функций из сходится в , если она сходится в каком-либо пространстве . Последовательность обобщенных функций из D' (О)сходится в D' (О), если она сходится на каждом элементе из D(О)(слабая сходимость). Для того чтобы линейный функционал на D(О)был обобщенной функцией из D' (О), необходимо и достаточно, чтобы для любого открытого множества существовали числа Ки ттакие, что

Пространство (слабо) полное: если последовательность обобщенных функций такова, что для любой из D(О)числовая последовательность сходится, то функционал

принадлежит D' (О). Обобщенная функция из D' (О)имеет произвольный "рост" в окрестности границы дО, в частности любая функция определяет обобщенную функцию из по формуле

3) Пространства . Пусть банахово пространство, состоящее из всех функций голоморфных в трубчатой области с нормой

вложение компактно. Пусть Ф индуктивный предел (возрастающей) последовательности пространств Пространство Ф типа DFS, а его сопряженное Ф' типа FS. Элементы Ф являются Фурье гиперфункциями; Ф' изоморфно также пространству

Лит.:[1] Schwartz L., Theoric dcs distributions, t. 1-2, P., 1950-51; [2] Бурбаки Н., Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [3] Дьёдонн е Ж., Шварц Л., "Математика", 1958, т. 2, №2, с. 77107; [4] Гротендик А., там же, № 3, с. 8!-127;[5] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Пространства основных и обобщенных функций, М., 1958: [6]Yoshinaga К., "J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A", 1957, v. 21, p. 89-98; [7] Кawai Т., "J. Fас. Sci. Univ. Tokyo Sec. 1A", 1970, v. 17, p. 467-517; [8] Владимиров В. С, Обобщенные функции в математической фивике, 2 изд., М., 1979.

В. С. Владимиров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985