Математическая энциклопедия - обобщенной функции производная

слабое расширение операции обычного дифференцирования. Пусть обобщенная функция. Обобщенная (слабая) производная

порядка определяется равенством

Так как операция линейна и непрерывна из D(О)в D(О), то функционал определяемый правой частью равенства (*), есть обобщенная функция из . Если при всех таких, что

Имеют место следующие свойства О. ф. п.: операция линейна и непрерывна из D' (О)в D' (О);любая обобщенная функция из D' (О)бесконечно дифференцируема (в обобщенном смысле); дифференцирование He-зависит от порядка; справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения аf, где

Пусть Может случиться, что нек-рая обобщенная производная может быть отождествлена с нек-рой (О)-функцией. В этом случае обобщенная производная типа функции.

Примеры. 1)где функция Хевисайда и d функция Дирака.

2) Общее решение уравнения в классе есть произвольная постоянная.

3) Тригонометрический ряд

сходится в D' и его можно дифференцировать в D' почленно бесконечное число раз.

Лит.:[1] Schwartz L., Theorie des distributions, v. 1, P., 1950; [2] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962,

В. С. Владимиров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985