Математическая энциклопедия - обобщенных функций произведение

произведение обобщенной функции с функцией определяемое равенством при атом и для (обычных) функций из произведение совпадает с обычным умножением функций и

Примеры. 1)

Однако эта операция произведения не допускает распространения на любые обобщенные функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной, иначе было бы противоречие:

Чтобы определить произведение двух обобщенных функций и , достаточно, чтобы они обладали, грубо говоря, свойствами: насколько f "нерегулярна" в окрестности произвольной точки, настолько gдолжна быть "регулярной" в этой окрестности и наоборот, напр, если sing supp (см. Обобщенной функции носитель). В нек-рых классах обобщенных функций их произведение можно определить, однако оно может оказаться неоднозначным.

Пример ы: 3) Граничные значения из алгебры голоморфных функций Н(С)(одночастотные обобщенные функции):

Они образуют алгебру, ассоциативную и коммутативную с единицей [2].

4) где спроизвольная постоянная. Действительно,

Но на основных функциях таких, что ,

Поэтому естественно положить если , . Расширяя этот функционал на все основные функции из D, получают 4).

5) Определить произведение . Функция не принадлежит к , однако она определяет регулярные обобщенные функции:из Их можно согласованно продолжить до обобщенных функций из , напр., взяв конечную часть по Адамару расходящегося интеграла (перенормировав его)

Обобщенная функция (перенормированный функционал для ) зависит от произвольного параметра , Произвол в перенормировке таков:

Эти идеи привели к процедуре перенормировки амплитуд Фейнмана в квантовой теории поля. Перенормировочные константы (напр., массы и заряды) выступают как произвольные постоянные, аналогичные ; наиболее общее определение О. ф. п. дается в терминах волновых фронтов.

Лит.:[1] Schwartz L., Theorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51; [2] Владимиров В. С, Обобщенные функции в математической физике, М., 1976; [3] Боголюбов Н. Н., Парасюк О. С, "Acta Math.", 1957, v. 97, p. 227-66; [4] Хепп К., Теория перенормировок, пер. с франц., М., 1974.

В. С. Владимиров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985