Математическая энциклопедия - обобщенная аналитическая функция

функция удовлетворяющая системе

с действительными коэффициентами являющимися функциями действительных переменных хи у В обозначениях

исходная система записывается в виде

Если коэффициенты Аи Всистемы (1) на всей плоскости Екомплексного переменного z принадлежат классу то в любой области Dэтой плоскости каждая О. а. ф. w(z), удовлетворяющая уравнению (1) представляется в виде

(2) где

а вполне определенная аналитическая в области Dфункция переменного z.

Связь между О. а. ф. и аналитич. циями, осуществляемая формулой (2), является нелинейной, еслк . По заданной аналитич. ции из нелинейноге интегрального уравнения (2) единственным образом определяется О. а. ф.

Существует линейный оператор

устанавливающий взаимно однозначное соответствие между множествами аналитических в ограниченной области Dи непрерывных в замкнутой области функций и обобщенных аналитических в Dфункций , причем и вполне определенные функции, к-рые выражаются через коэффициенты Аи Всистемы (1).

Из формулы (3) получаются различные интегральные представления О. а. ф., обобщающие интегральное представление Коши для аналитич. ций. Представление О. ф. в виде (3) оказалось полезным при исследовании краевых задач для О. а. ф.

Если Аи Ваналитич. ции действительных переменных х, у, то для О. а. ф. в односвязной области имеет место представление

в к-ром и аналитич. ции своих аргументов, выражающиеся через Аи В, а произвольная аналитич. ция переменного z. (Формула (4) не является частным случаем формулы (3).)

В случае, когда Аи Вцелые функции переменных хи у, представление (4) годится для любой односвязной области плоскости комплексного переменного 2.

Проблема приведения общего эллиптич. уравнения 2-го порядка

к виду

эквивалентна задаче редукции к канонич. виду положительной квадратичной формы Последняя проблема, в свою очередь, сводится к отысканию гомеоморфизмов уравнения Бельтрами

Если (5) равномерно эллиптич. уравнение то

При изучении уравнения Бельтрами основным вопросом является построение нек-рого его гомеоморфизма для данной области D. Это вытекает из следующего утверждения: если гомеоморфизм уравнения Бельтрами, реализующий топологич. отображение области Dна область , то всякое другое его решение в Dимеет вид

где Ф произвольная аналитич. ция в области

Когда измерима, вне Dи

однолистным решением уравнения Бельтрами (6) является функция

где удовлетворяет сингулярному интегральному уравнению (интеграл понимается в смысле главного значения по Коши)

Это уравнение имеет единственное решение в нек-ром классе его можно получить, напр., методом последовательных приближений. Функция (8) принадлежит классу реализует топологич. отображение плоскости на себя, причем

при . Если то

Равномерно эллиптич. система двух уравнений 1-го порядка общего вида в комплексной записи имеет вид

С помощью гомеоморфизма нек-рого уравнения вида (6) систему (10) можно привести к виду (1). Но ее можно изучить также непосредственно, что позволяет избежать нек-рых дополнительных ограничений.

Пусть уравнение (10) рассматривается в нек-рой ограниченной области при условии, что р>2. Тогда всякое решение уравнения (10) представимо в виде

где нек-рый гомеоморфизм уравнения Бельтрами (6) с коэффициентом

аналитич. ция в области , функция голоморфна вне и исчезает на бесконечности. Представление (11) имеет место и тогда, когда коэффициенты в левой части уравнения (10) зависят от и от ее производных любого порядка, лишь бы на рассматриваемых решениях выполнялись указанные выше условия. Как и (2), формула (11) допускает обращение.

Формула (11) позволяет перенести целый ряд свойств классич. теории аналитич. ций на решения уравнения (10): теорему единственности, принцип аргумента, принцип максимума и др.

Общее (Q-квазиконформное отображение является решением нек-рой равномерно эллиптич. системы вида (10) (при А=В=0). Справедливо и обратное утверждение. Поэтому указанные выше результаты позволяют решить чисто аналитич. тем основные проблемы квазиконформных отображений.

Теория О. а. ф. позволила исчерпывающим образом исследовать обобщенную задачу Римана Гильберта: найти решение уравнения (1), непрерывное в , по краевому условию