Поиск в словарях
Искать во всех

Математическая энциклопедия - обобщенного сдвига операторы

Обобщенного сдвига операторы

гипергруппа,понятие, возникшее в результате аксиоматизации нек-рых свойств операторов сдвига в пространствах функций на группе. В терминах операторов группового сдвига можно сформулировать такие важные математич. понятия как свертка, групповая алгебра, положительно определенная функция, почти периодическая функция и др. В рамках теории О. с. о. удается получить далеко идущие обобщения фундаментальных принципов и результатов, связанных с указанными понятиями. В частности, теория О. с. о. имеет существенные приложения к гармоническому анализу абстрактному.

Термины "О. с. о." и "гипергруппа" принадлежат Ж. Дельсарту (см. [1] [3]). Ему же принадлежат важные идеи и ряд первоначальных результатов в данной области. Систематич. построение теории О. с. о. дано главным образом в работах Б. М. Левитана (см., напр., [4] [7]).

Основные понятия. Пусть Нпроизвольное множество, Ф нек-рое векторное пространство комплекснозначных функций, определенных на Н. Пусть каждому элементу сопоставлен линейный оператор в Ф, причем при любом фиксированном функция содержится в Ф для всех . Линейный оператор в Ф обозначается (т. е. ). Линейные операторы наз. операторами обобщенного сдвига, если выполнены следующие условия (аксиомы) : 1) для любых (аксиома ассоциативности), 2) существует в Нтакой элемент е, наз. нейтральным, что , где I тождественный оператор. В таком случае множество Нназ. гипергруппой, так что понятия "О. с. о." и "гипергруппа" равносильны. Операторы часто наз. операторами правого сдвига, тогда как наз. операторами левого сдвига.

О. с. о. очевидным образом возникают в любом инвариантном относительно сдвигов векторном пространстве функций на произвольной полугруппе с единицей, напр, на группе. Пусть где произведение элементов h, х в полугруппе, а

тогда аксиома ассоциативности сводится к ассоциативности умножения в полугруппе, а нейтральным элементом является единица полугруппы, так что операторы R x образуют семейство О. с. о. Нетривиальные примеры приводятся ниже.

В общем случае не образуют О. с. о., так как оператор не обязан быть тождественным. Однако является проектором, и его образ наз. основным поДпространством в Ф. В пространстве операторы образуют семейство О. с. о., и симметрия между операторами левого и правого сдвига восстанавливается. Часто вторую из аксиом О. с. о. усиливают требованием, чтобы , т. е.

Условия 1) и 2) являются наиболее общими аксиомами О. с. о. Накладывая дополнительные условия, можно выделять более узкие классы О. с. о. Если для всех то О. с. о. Rx наз. коммутативными; в этом случае и гипергруппа Нназ. коммутативной. Если относительно Н делаются дальнейшие предположения, то для О. с. о. естественным образом возникают новые условия. Напр., если Нлокально бикомпактное пространство с мерой т, то обычно требуется, чтобы операторы и согласованно действовали в пространстве С(Н)непрерывных функций на Ни в пространствах причем на и накладываются дополнительные условия типа непрерывности; если Нгладкое многообразие, то накладываются условия типа дифференцируемоеЩ, и т. п. Различные варианты аксиоматики даны в [1], [3] [6], [8], [15] [20].

Примерно, с. о., связанных с группами. Операторы обобщенного сдвига Дельсарта. Пусть Gтопологич. группа, Кнек-рая бикомпактная группа автоморфизмов группы мера Хаара на Ки . В пространствеФ=С(G) непрерывных функцийна GО. с. о. определяются с помощью равенства

где образ элемента при автоморфизме произведение элементови в G. Нейтральным элементом является единица группы. Обе аксиомы О. с. о. выполняются; если Gкоммутативна, то коммутативны и О. с. о. Дельсарта. Основное подпространство состоит из всех функций, постоянных на орбитах относительно действия группы К, а операторы совпадают в если хи улежат на одной орбите. Поэтому пространство орбит Нтакже можно наделить структурой гипергруппы, отождествляя с пространством непрерывных функций на Ни полагая где хпроизвольный элемент орбиты h. Если G совпадает с , а группа автоморфизмов состоит из двух элементов (отражение относительно нуля и тождественное отображение), то В этом случае основное подпространство состоит из четных функций, а пространство орбит отождествляется с полуосью Другой частный случай О. с. о. Дельсарта получается при и при этом основное подпространство состоит из центральных функций на К, а гипергруппа, образованная орбитами, т. е. классами сопряженных элементов, коммутативна.

Двойные классы смежности по бикомпактной подгруппе. Пусть Gлокально бикомпактная группа, Кее бикомпактная подгруппа, Нпространство двойных классов смежности по подгруппе К(такой класс вместе с элементом содержит и все элементы вида , где ,).

Если Кнормальный делитель в G, то Нсовпадает с факторгруппой . Пусть Ф пространство, состоящее из всех таких непрерывных функций на G, что для любых элементов . О. с. о. определяется формулой

Пространство Ф можно отождествить с пространством С(Н) непрерывных функций на Ни так же, как для О. с. о. Дельсарта, можно наделить Hструктурой гипергруппы. Если Gлинейная полупростая группа Ли, Кее максимальная бикомпактная подгруппа, то гипергруппа Нкоммутативна и тесно связана со сферич. функциями на G(в частности, все сферич. функции лежат в Ф).

В описанных выше примерах наряду с пространствами непрерывных функций можно рассматривать и другие функциональные пространства (см. [8], [13], [15] [19]).

Гиперкомплексные системы. Пусть Ф конечная гиперкомплексная система, т. е. конечномерная ассоциативная алгебра с фиксированным базисом Алгебра Ф отождествляется с пространством функций на конечном множестве Н, причем функции соответствует элемент

Пусть

где произведение элементов и x в алгебре Ф.

Операторы образуют семейство О. с. о. тогда и только тогда, когда один из элементов базиса Нявляется правой единицей в алгебре Ф; указанным способом устанавливается соответствие между любыми О. с. о. в пространстве функций на конечном множестве и конечными гиперкомплексными системами. Таким образом, понятие О. с. о. можно рассматривать как далеко идущее обобщение классич. понятия гиперкомплексной системы. Важные примеры О. с. о., к-рые естественно трактовать как гпперкомплексные системы со счетным или континуальным базисом, рассмотрены, напр., в [4], [5], [8].

Генераторы и теоремы Ли для О. с. о. Пусть гипергруппа Нявляется дифференцируемым (или комплексно-аналитическим) многообразием и дифференцируемая (соответственно голоморфная) функция на при всех . Пусть локальные координаты точки , причем система координат выбрана так, что нейтральный элемент имеет координаты (0, ..., 0). Генераторами (инфинитезимальными операторами) правого сдвига k- топорядка для О. с. о. наз. линейные операторы вида

где .

Аналогично генераторы левого сдвига определяются равенством

Из аксиомы ассоциативности можно вывести, что любой генератор левого сдвига коммутирует со всеми генераторами правого сдвига (равно как и с операторами ). Дифференцирование условия; ассоциативности по переменным соответствующее число раз дает при систему уравнений

где . Эту систему следует рассматривать как обобщение на случай О. с. о. первой прямой теоремы Ли (см. [3] для О. с. а. Дельсарта и [5] для общего случая). Не обязательно привлекать все уравнения системы (*), чтобы определить и( х, у). Напр., для сдвига на группе Ли уже генераторы 1-го порядка однозначно определяют функцию и(т. е. групповое умножение). В общем случае нек-рые генераторы низших порядков могут вырождаться, напр, в умножение на константу, так что соответствующие уравнения системы (*) не содержат полезной информации. Поэтому возникает задача: отобрать минимальное число уравнений из системы (*), однозначно определяющих О. с. о. При этом вырождающиеся генераторы пополняют число начальных условий. Если конечная система вида (*) при нек-рых начальных условиях, среди к-рых содержится условие , однозначно определяет решение , причем операторы, стоящие в левых частях системы, коммутируют со всеми операторами, стоящими в правых частях, то операторы суть О. с. о. Это утверждение является аналогом первой обратной теоремы Ли [5]. Для нек-рого класса О. с. о. доказаны (см. [5]) аналоги второй и третьей (прямой и обратной) теорем Ли. В частности, в пространстве бесконечно дифференцируемых функций от ппеременных построены О. с. о., для к-рых генераторы правого (левого) сдвига порождают любую заданную n-мерную алгебру Ли. Получено явное описание этих генераторов в виде интегро-дифференциальных операторов 2-го порядка [10]. С помощью аналогичной техники построены [11] генераторы любого порядка, действующие в пространстве целых аналитич. ций (от ппеременных) и порождающие любую n-мерную вещественную алгебру Ли; по этим генераторам восстанавливаются О. с. о. Можно строить О. с. о., исходя не только из алгебр Ли, но и из коммутационных соотношений более общего вида (см. [7], [12]). Так, напр., уже в [1] О. с. о. на прямой строились исходя из явно заданного генератора 2-го порядка с помощью ряда, аналогичного ряду Тейлора, к-рый дает разложение обычного сдвига по степеням оператора дифференцирования. Подробно описаны коммутативные О. с. о. на прямой с генератором 2-го порядка типа Штурма Лиувилля (см. [4], [5]) и указаны приложения к операторам и уравнениям Штурма Лиувилля. Дана [14] полная классификация О. с. о. с генератором типа Штурма Лиувилля (в том числе некоммутативных) в пространстве дифференцируемых функций на прямой.

Рейтинг статьи:
Комментарии:

Вопрос-ответ:

Что такое обобщенного сдвига операторы
Значение слова обобщенного сдвига операторы
Что означает обобщенного сдвига операторы
Толкование слова обобщенного сдвига операторы
Определение термина обобщенного сдвига операторы
obobschennogo sdviga operatory это
Ссылка для сайта или блога:
Ссылка для форума (bb-код):