Математическая энциклопедия - обобщенные почти периодические функции

классы функций, являющиеся различными обобщениями почти периодич. функций. Каждый из них обобщает какую-то из сторон в определениях Бора почти периодических функций и Бохнера почти периодических функций. В этих определениях встречаются следующие математич. понятия (структуры): 1) пространство функций, определенных на всей прямой как метрич. пространство с метрикой (расстоянием):

2) отображение прямой в комплексную плоскость (функция); 3) прямая линия как группа; 4) прямая линия как топологич. пространство.

Имеющиеся обобщения почти периодич. функций удобно классифицировать в согласии с этими структурами.

1)Если вместо непрерывности требовать от функции

, измеримость и суммируемость с р- йстепенью в каждом конечном промежутке, то в качестве расстояния можно принять одно из следующих трех выражений:

расстояние Степанова:

Этим расстояниям соответствуют обобщенные Степанова почти периодические функции, Вейля почти периодические функции и Безиковича почти периодические функции.

2) Пусть прямая отображается не в , а в банахово пространство В. Такое отображение наз. абстрактной функцией. Пусть абстрактные функции непрерывны и расстояние между ними определяется по формуле (*), в к-рой модуль заменен нормой. Тогда определения Бора и Бохнера обобщаются и приводят к т. н. абстрактным почти периодическим функциям.

Дальнейшее обобщение получается заменой банахова пространства на топологическое векторное пространство. В этом случае почти период определяется так: для всякого существует такая окрестность нуля , что .

Если топологию, определяемую нормой, заменить слабой топологией, то получаются т. н. слабо почти периодические функции: функция , , , наз. слабо почти периодической, если для любого функционала есть числовая почти периодич. функция.

3) Пусть вместо прямой рассматривается произвольная группа G(не обязательно топологическая) и отображение группы Gв топологическое векторное пространство (в частности, в ). В качестве определения почти периодич. функций удобней принять определение Бохнера:наз. почти периодической функцией на группе, если семейство функций (или, что эквивалентно, семейство ), условно компактно.

3) В определении почти периодич. функции на группе важна не сама групповая операция, а операция сдвига на функциях: (или ),

Поэтому дальнейшее обобщение почти периодич. функций получается обобщением операции сдвига. Пусть Wабстрактное пространство (не обязательно группа) и функция, определенная на . Семейство линейных операторов наз. обобщенного сдвига операторами, если выполняются следующие аксиомы:

) ассоциативность:

2) существование нейтрального элемента, т. е. такого элемента что где единичный оператор.

Функция наз. почти периодической относительно семейства операторов обобщенного сдвига , если семейство функций ( х параметр) условно компактно относительно равномерной сходимости на W. Следует отметить, что теория таких функций относительно даже конкретных семейств операторов обобщенного сдвига еще слабо разработана (см. [1], [5]).