Математическая энциклопедия - обобщенные теории когомологии

экстраординарные теории когомологий,класс специальных функторов из категории пар пространств в категорию градуированных абелевых групп.

О. т. к. есть пара функтор из категории Рпар топологич. пространств в категорию GA градуированных абелевых групп (т. е. каждой паре пространств (X, А )отвечает градуированная абелева группа и каждому непрерывному отображению набор гомоморфизмов

заданный для каждой пары (X, А )набор гомоморфизмов

естественных в том смысле, что для любого непрерывного имеет место

причем должны выполняться следующие три аксиомы. 1) Аксиома гомотопии. Если два отображения гомотопны, то гомоморфизмы совпадают для всех п.

2) Аксиома точности. Для любой пары (X, А )последовательность

точна; здесь очевидные включения.

3) Аксиома вырезания. Пусть пара пространств п пусть таково, что Тогда включение для всех пиндуцирует изоморфизмы

Для корасслоения из аксиом следует, что проекция пространство, состоящее из одной точки, индуцирует изоморфизм

Часто вместо пишут просто , а вместо просто . Группу наз. группой n-мерных (обобщенных) когомологий пары (X, А), а градуированную группу группой коэффициентов О. т. к.

В определении О. т. к. можно вместо категории рбрать категорию пар корасслоений или категорию пар клеточных пространств, или категорию пар конечных клеточных пространств (при этом в аксиоме вырезания надо потребовать, чтобы пара была изоморфна объекту соответствующей категории. В этих случаях говорят, что О. т. к. определена на категории (соответственно ).

Выбор термина О. т. к. мотивируется следующим обстоятельством. Доказано [2], что любой функтор , удовлетворяющий аксиомам 1-3 и т. н. аксиоме размерности (состоящей в том, что при ), есть обычная теория когомологийс коэффициентами в . Позже было замечено, что многие полезные конструкции алгебраич. топологии (напр., кобордизмы, К-теория )удовлетворяют аксиомам 1-3 и что эффективность этих конструкций в значительной степени обусловлена свойствами, формально вытекающими из этих аксиом. Эти обстоятельства и привели к формированию понятия О. т. к.

Пусть Xпунктированное пространство и пунктированное отображение. Группу приведенных обобщенных когомологий пространства Xопределяют, полагая

Имеется очевидное расщепление

и его можно сделать каноническим, считая, что вложение индуцировано отображением Ясно, что . Кроме того, для корасслоения из аксиом 1-3 следует изоморфизм (см. [2], [3]), так что . Здесь, как обычно, при

Если (X, А)корасслоение, то из аксиом следует точность последовательности (естественной на категории корасслоений)

Здесь очевидные отображения, а есть композиция

В частности, если Xесть конус С А над А, то (аксиома гомотоиии), а есть надстройка SA над А, и

точность последовательности (*) влечет изоморфизмы надстройки естественные по А. При этом изоморфизмы d позволяют восстановить гомоморфизмы (см. [2], [3]); это делается с использованием т. н. последовательности Пуппе. Применение к последней функтора дает точную последовательность (*). Таким образом, по приведенной О. т. к. полностью восстанавливается О. т. к.

О. т. к.наз. мультипликативной, если для любых пар пространств (X, A),(Y, В )из Рзадано естественное спаривание

удовлетворяющее условиям коммутативности и ассоциативности (см. [4], [5]). В этом случае для группа.является градуированным (коммутативным, ассоциативным) кольцом относительно умножения

где

диагональ, и индуцированные отображения суть кольцевые гомоморфизмы. Более общим образом можно определить спаривание двух О. т. к. в третьей [5].

Обычные когомологий.можно определить как группу гомотопич. классов непрерывных отображений из Xв Эйленберга Маклейна пространство K(G, n). Это обобщается и на О. т. к. следующим образом. Спектром пространств наз. последовательность пространств и непрерывных отображений где надстройка над . Для пространства Xопределяется группа равенством

Здесь отображения

определяются композицией

Очевидным образом строятся изоморфизмы надстройки . Таким образом, каждый спектр пространств задает нек-рую О. т. к. и, значит, неприведенную О. т. к.Если для О. т. к.существует спектр, из к-рого она получается описанным выше способом, то говорят, что этот спектр представляет О. т. к. или что теория представ им а этим спектром. Известно, что любая О. т. к. на категории представима спектром, единственным с точностью до слабой гомотопич. эквивалентности.

Если О. т. к. представима кольцевым спектром пространств, то она мультипликативна [5]. Для О. т. к., заданной на категории , верно и обратное.

Пусть расслоение в смысле Серра.

Для любой О. т. к. и любого пгруппы образуют локальную систему групп на пространстве В. Существует спектральная последовательность ДольдаАтьн Хирцебруха начальный член к-рой есть . Если Вконечное клеточное пространство, то эта спектральная последовательность сходится и ее предельный член присоединен к группе h* (Е)(см. [1]). В частности, если , то получается спектральная последовательность позволяющая (иногда) вычислять группу по группам и

С каждой О. т. к. h* можно связать двойственную обобщенную теорию гомологии , аксиоматика к-рой аналогична аксиоматике О. т. к. с учетом того, что гомологии ковариантиый функтор [4]. При этом если пространства Xи Y (n+1)-двойственны (см. S-двойственностъ), то

Кроме того, если О. т. к. представима спектром

то

При этом для мультипликативной О. т. к. имеется спаривание высечения :

Важнейшими примерами О. т. к. является K-теория и различные кобордизмы. Двойственные к кобордизмам обобщенные теории гомологии суть бордизмы.

Пусть есть и-мерное векторное расслоение над X, ориентируемое в О. т. к.его Тома простран ство. В этом случае имеет место обобщенный Тома изоморфизм (см. ([1]). Отсюда (и из теоремы двойственности Атьи [7]) следует обобщенная Пуанкаре двойственность:пусть РПуанкаре пространство формальной размерности п(напр., замкнутое n-мерное многообразие), нормальное расслоение к-рого ориентируемо в О. т. к. h*. Тогда для любого целого iимеет место Пусть есть N-мерное нормальное расслоение над Р пего пространство Тома. Пространства -двойственны (отношение, названное в статье S-двойственность(n+1)-двойственностыо, часто наз. n-двойственность). Поэтому

Элемент zгруппы , отвечающий при этом изоморфизме единице наз. фундаментальным классом пространства Рв О. т. к., это понятие обобщает классич. понятие фундаментального класса. Доказано, что изоморфизм задается "высечением на фундаментальном классе", т. е. имеет вид (см. [4]).