Математическая энциклопедия - орбит метод

метод изучения унитарных представлений групп Ли. С помощью О. м. была построена теория унитарных представлений нильпотентных групп Ли, а также указана возможность его применения к другим группам [1].

О. м. основан на следующем "экспериментальном" факте: существует глубокая связь между унитарными неприводимыми представлениями группы Ли G и орбитами этой группы в коприсоединенном представлении. Решение основных задач теории представлений с помощью О. м. осуществляется следующим образом (cм. [2]).

I. Конструкция и классификация неприводимых унитарных представлений. Пусть W орбита действительной группы Ли G в коприсоединенном представлении, F - точка этой орбиты (являющаяся линейным функционалом на алгебре Лп группы G), G(F) - стабилизатор точки F, -алгебра Ли группы G(F). Поляризацией точки Fназ. комплексная подалгебра в ,

где комплексификация алгебры Ли, обладающая свойствами:

1)

2) содержится в ядре функционала Fна ;

3) инвариантна относительно Ad G(F).

Пусть и H=G(F)^.H⁰. Поляризация наз. действительной, если , и чисто комплексной, если . Функционал Fопределяет характер (одномерное унитарное представление) группы Н ⁰ по формуле

Пусть продолжается до характера группы H.

Если действительная поляризация, то пусть

индуцированное характером XF подгруппы H представление группы G(см. Индуцированное представление). Если чисто комплексная поляризация, то пусть голоморфно индуцированное представление, действующее в пространстве голоморфных функций на G/H.

Первая основная гипотеза состоит в том, что представление неприводимо и его класс эквивалентности зависит только от орбиты W. и от выбора продолжения характера . Эта гипотеза доказана для нильпотентных групп [1] и для разрешимых групп Ли [5]. Для нек-рых орбит простой особой группы G2 гипотеза неверна [7]. Возможность продолжения и степень его неоднозначности зависят от топологич. свойств орбиты: препятствием к продолжению служат двумерные когомологии орбиты, а в качестве параметра, нумерующего различные продолжения, можно взять одномерные когомологии орбиты. Более точно, пусть BW - каноническая 2-форма на орбите W. Для существования продолжения необходимо и достаточно, чтобы форма BW. принадлежала целочисленному классу (т. е. интеграл ее по любому двумерному циклу был целым числом); если это условие выполнено, то множество продолжений параметризуется характерами фундаментальной группы орбиты.

Вторая основная гипотеза состоит в том, что указанным способом получаются все унитарные неприводимые представления рассматриваемой группы G. Единственным (1983) противоречащим этой гипотезе примером являются т. н. дополнительные серии представлений полупростых групп Ли.

II. Функториальные свойства соответствия между орбитами и представлениями. Значительное место в теории представлений занимают вопросы о разложении на неприводимые компоненты представления, получаемого ограничением на подгруппу Ннеприводимого представления группы G и индуцированием с помощью неприводимого представления подгруппы . О. м. дает ответ на эти вопросы в терминах естественной проекции ( означает переход к сопряженному пространству; проекция рсостоит в ограничении функционала с на ). А именно, пусть G экспоненциальная группа Ли (для таких групп соответствие между орбитами и представлениями взаимно однозначно).