Математическая энциклопедия - рисса потенциал

a-потенциал,-потенциал вида

где m положительная борелевская мера с компактным носителем на евклидовом пространстве расстояние между точками . При и a=n-2 Р. п. совпадает с классическим ньютоновым потенциалом;при n=2 и предельным случаем Р. п. в нек-ром смысле является логарифмический потенциал. При и Р. п. есть супергармонич. функция во всем пространстве ; при этом в классич. случае a=n-2 вне носителя S'(m) меры m потенциал есть гармонич. функция. При a>n-2 Р. п. Va(x). есть субгармонич. функция вне S(m). При всех a>0 Р. п. Va(x) - полунепрерывная снизу функция в , непрерывная вне S(m).

Из общих свойств Р. п. важнейшими являются следующие. П р и н ц и п н е п р е р ы в н о с т и: если и сужение непрерывно в точке х 0, то Va(x)непрерывен в х 0 как функция на всем О г р а н и ч е н н ы й п р и н ц и п м а к с и м у м а: если , то всюду в . При справедлив более точный п р и н ц и п м а к с и м у м а: если , то всюду в (это утверждение остается верным и при п=2и , то есть для логарифмич. потенциала).

Теория емкости для Р. п. строится, напр., исходя из понятия a-энергии меры m:

Для компакта Kможно положить

где нижняя грань берется по всем мерам m, сосредоточенным на Kи таким, что m(K)= 1; тогда a-е м к о с т ь равна

Если , то нижняя грань достигается на сосредоточенной на Kе м к о с т н о й м е р е l, l(K)=1, порождающей соответствующий е м к о с тн ы й a-п о т е н ц и а л V(х;a, l). Дальнейшее построение a-емкостей произвольных множеств производится так же, как и для классич. емкостей.

Р. п. назван по имени М. Рисса (см. [2]), получившего ряд важных свойств Р. п.; впервые такие потенциалы были исследованы О. Фростманом (см. [1]).

Лит.:[1] F r o s t m a n n О., "Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.", 1935, v. 3; [2] R i e s z M., "Ada sci. math. Szeged", 1938, v. 9, p. 1-42; [3] Л а н д к о ф Н. С., Основы современной теории потенциала, М., 1966; [4] Х е й м а н У., Кеннеди П., Субгармонические функции, пер. с англ., т. 1, М., 1980. Е.