Математическая энциклопедия - сферическая геометрия

математич. дисциплина, изучающая геометрич. образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрич. образы, находящиеся на плоскости.

Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении нек-рую окружность; если секущая плоскость проходит через центр Осферы, то в сечении получается т. н. большой круг. Через каждые две точки А и В на сфере (рис., 1), кроме случая диаметрально противоположных точек, можно провести единственный большой круг. Большие круги сферы являются ее геодезическими линиями и поэтому в С. г. играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Однако в то время как любой отрезок прямой является кратчайшим между его концами, дуга большого круга на сфере будет кратчайшей лишь в случае, когда она короче дополнительной дуги. Во многих других отношениях С. г. также отлична от планиметрии; так, напр., в С. г. не существует параллельных геодезических: два больших круга всегда пересекаются, и притом в двух точках.

Длину отрезка АВ на сфере, то есть дугу АтВ (рис., 1)большого круга, измеряют соответствующим пропорциональным ей центральным углом АОВ. Угол ABC (рис., 2), образованный на сфере дугами двух больших кругов, измеряют углом А 'ВС' между касательными к соответствующим дугам в точке пересечения Вили двугранным углом, образованным плоскостями ОВА и ОВС.

При пересечении двух больших кругов на сфере образуются четыре сферических двуугольника (рис., 3). Сферич. двуугольник определяется заданием своего угла. Площадь сферич. двуугольника определяется по формуле S = 2R²A, где R - радиус сферы, А - угол двуугольника, выраженный в радианах.

Три больших круга, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь сферических треугольников (рис., 4);зная элементы (углы и стороны) одного из них, легко определить элементы всех остальных. Поэтому обычно рассматривают соотношения между элементами лишь одного треугольника, притом того, все стороны к-рого меньше половины большого круга (такие треугольники наз. эйлеровыми треугольниками). Стороны а, b, с сферич. треугольника измеряются плоскими углами трехгранного угла ОАВС (рис., 5), углы А, В, С. треугольника двугранными углами того же трехгранного угла. Свойства сфорич. треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трем случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется еще четвертый: два треугольника равны, если равны их соответствующие углы (на сфере не существует подобных треугольников).

Равными треугольниками считаются те, к-рые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Равные сферич. треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, наз. симметричными; таковы, напр., треугольники АС'С и ВСС' на рис.,6.

Во всяком сферич. треугольнике (эйлеровом) каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше Сумма углов сферического треугольника всегда меньше и больше Разность где sсумма углов сферического треугольника, наз. сферическим избытком. Площадь сферич. треугольника определяется по формуле где R - радиус сферы. О соотношениях между углами и сторонами сферич. треугольника см. Сферическая тригонометрия.

Положение каждой точки на сфере вполне определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно определить, напр., следующим образом. Фиксируются (рис., 7) нек-рый большой круг QQ' (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра РР' сферы, перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью сферы, напр. . (п о л ю с), и один из больших полукругов РАР';выходящих из полюса (нулевой меридиан). Большие полукруги сферы, выходящие из Р, наз. меридианами, малые ее круги, параллельные экватору,параллелями. В качестве одной из координат точки Мна сфере принимается угол полярное расстояние, в качестве второй угол между нулевым меридианом и меридианом, проходящим через точку М,долгота, отсчитываемая против часовой стрелки.

Длина Lдуги М 1 М 2 (рис., 8)линии вычисляется по формуле

Лит.: [1] Степанов Н. Н., Сферическая тригонометрия, 2 изд., Л.-М., 1948; [2] Энциклопедия элементарной математики, кн. 4 Геометрия, М., 1983.

В. И. Витюцков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985