Математическая энциклопедия - сферических гармоник метод

способ приближенного решения кинетич. уравнения с помощью разложения фазовой плотности частиц в конечную сумму по сферич. функциям от аргументов, задающих направление скорости частицы (см. [1]). Метод широко применяется при решении задач нейтронной физики.

В одномерной плоской геометрии стационарное интегро-дифференциальное кинетич. уравнение переноса (при изотропном рассеянии частиц)

приближенно заменяется системой дифференциальных уравнений для приближенных значений коэффициентов Фурье

Система вида

возникает при условии

Здесь фазовая плотность частиц, распространяющихся в веществе, с - среднее число вторичных частиц, возникающих в одном акте взаимодействия с частицами вещества, многочлен Лежандра степени п. Система (3) определяет Р 2N-1 -приближение С. г . м. для уравнения (1). Приближенное значение фазовой плотности

Для уравнения (1) типичные краевые условия имеют вид:

Таковы, напр., краевые условия для задачи нейтронной физики о критич. режиме слоя толщины hсо свободными поверхностями х=0 и x=h (границы с вакуумом). В этой задаче необходимо найти положительное решение (1), (6) и собственное значение с. ВС. г. м. вместо (6) естественно взять

Однако такой подход дает в два раза больше условий, чем необходимо для частного решения системы (3). На практике был испытан различный выбор значений пв (7). Наилучший результат дают условия с n=2k+1, k=0, 1, .... N-1. Для односкоростного уравнения переноса общего вида из Владимирова вариационного принципа получается система уравнений С. г. м. и указанные граничные условия (при выборе пробных функций в виде линейной комбинации сферических гармоник). Для трехмерной геометрии граничные условия можно записать в виде

Здесь rвектор пространственной координаты, единичный вектор скорости частицы, имеющий сферич. координаты единичный вектор внешней нормали к кусочно гладкой поверхности Г, ограничивающей выпуклую область пространства, в к-рой решается задача

сферич. функции, присоединенные функции Лежандра 1-го рода многочлены Лежандра).

Низшие приближения С. г. м. (P1, P3 )широко используются при решении задач нейтронной физики и дают хорошие результаты вдали от границ области, от источников и сильных поглотителей нейтронов. Теория возраста также строится в P1 -приближении. Обобщенное решение С. г. м. сходится к решению уравнения переноса при (см. [2]). Скорость сходимости легко оценить, сравнив интегральные уравнения для и т. е. оценив близость их ядер. Уравнение (1) с граничными условиями (6) приводит к интегральному уравнению с ядром

Система С. г. м. (3) при граничных условиях, аналогичных (6),

где корни приводит к интегральному уравнению с ядром

где а ⁱ веса квадратурной формулы Гаусса для системы узлов Особенность, к-рую имеет функция приводит к медленной сходимости при больших N:

Приближенное собственное значение сходится к точному со скоростью 1/N².

Граничные условия (9) возникают естественно при решении кинетич. уравнения методом дискретных ординат, к-рый состоит в замене (1) на приближенную систему

Метод дискретных ординат в одномерной геометрии эквивалентен С. г. м. (см. [3]), т. к. система (10) может быть получена из (3) спомощью линейного преобразования неизвестных функций:

Однако в многомерных задачах С. г. м. в низших приближениях дает большую точность, чем метод дискретных ординат.

Лит.:[1] Mapчук Г. И., Лебедев В. И., Численные методы в теории переноса нейтронов, 2 изд., М., 1981; [2] Султангазин У. М., лЖ. вычисл. матем. и матем. физ.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985