Математическая энциклопедия - сфер гомотопические группы

объект изучения классич. теории гомотопий. Вычисление С. г. г. в свое время (особенно в 50-х гг.) рассматривалось как одна из центральных задач топологии. Топологи надеялись, что эти группы удастся полностью вычислить и что с их помощью можно будет решать другие классификационные гомотопич. задачи. Эти надежды в основном не сбылись: С. г. г. удалось вычислить лишь частично, и с развитием теории обобщенных когомологий задача их вычисления стала менее актуальной. Все же накопленная информация об этих группах не пропала даром, она нашла применения там, где их не ждали, в частности в дифференциальной топологии (классификации дифференциальных структур на сферах и многомерных узлов).

I. Общая теория.

1) Если i<n или i>n=1, то

2) (теорема Брауэра -Xопфа); этот изоморфизм относит элементу группы степень представляющего его отображения

3) Группы имеют ранг 1; прочие группы с конечны. Гомоморфизм надстройки

относит элементу группы представляемому сфероидом класс сфероида определяемого формулой

где

4) Гомоморфизм Е является изоморфизмом при i>2n-1 и эпиморфизмом при

Таким образом, при каждом kгруппы могут быть составлены в последовательность

в (k+2)-м члене к-рой наступает стабилизация; группа наз. k-йстабильной С. г. г. и обозначается При этом при k<0 и

Как и в гомотопических группах любого топологич. пространства, в С. г. г. определено умножение Уайтхеда:

К обычным его свойствам (дистрибутивность, косая коммутативность, тождество Якоби) добавляется

5)

Умножение Уайтхеда позволяет сделать следующее уточнение к 4):

6) ядро эпиморфизма порождается классом [in, in],где in каноническая образующая группы (представляемая тождественным cфероидом).

С умножением Уайтхеда тесно связан Хопфа инвариант определенный для Так, элемент группы представляемый отображением Хопфа действующим по формуле h(z1, z2)=z1 : z2 (в к-рой S³ интерпретируется как единичная сфера пространства а S² как имеет инвариант Хопфа, равный 1.

7) Отображение есть изоморфизм.

8)

Следствием 8) является бесконечность групп уже утверждавшаяся в 3).

9) При отсутствуют элементы с нечетным инвариантом Хопфа (как было известно задолго до доказательства этой теоремы, ее утверждение равносильно следующей гипотезе Фробениуса: отсутствует билинейное умножение с однозначным делением на ненулевые элементы).

Специфическим для сфер является композиционное умножение

определяемое при помощи компонирования представляющих отображений.

10) Для любых имеет место:

лЛевый закон дистрибутивности

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985