Математическая энциклопедия - статистическая сумма

функция, используемая в равновесной статистич. физике, равная нормировочной константе в выражении для плотности (или матрицы плотности в случае квантовой системы) в каноническом гиббсовском ансамбле.

1) В случае классич. системы плотность распределения Гиббса фазовое пространство системы) относительно естественной меры на задается формулой

где функция Гамильтона (энергия) системы, a i=l, . . ., k.- нек-рый набор величин, сохраняющийся при движении системы, задаваемой гамильтонианом действительные параметры. Нормировочный множитель

и наз. С. с. (иногда статистическим интегралом или интегралом состояний). 2) В случае квантовой системы каноническое гиббсовское состояние задается матрицей плотности

где гамильтониан (оператор энергии) системы, а i=1,..., k, нек-рые коммутирующие между собой операторы, соответствующие сохраняющимся во времени величинам; действительные параметры. Нормировочный множитель (наз. статистич. суммой) равен

Аналогично определяются С. с. для других гиббсовских ансамблей (микроканонического и малого канонического), а также в случае гиббсовских ансамблей, определенных для различных упрощенных модификаций реальных физич. систем (решетчатые системы, конфигурационные системы и т. д.).

В типичном случае, когда система заключена в ограниченной области и энергия (или а также другие величины i=l, . . ., k(соответственно операторы i=l, . . ., k), входящие в определение гиббсовского ансамбля, инвариантны относительно сдвигов в и почти аддитивны, т. е. (в случае классич. системы)

где и две конфигурации частиц, достаточно далеко отстоящие друг от друга (точную формулировку этого условия, а также его квантовый аналог см., напр., в [2]), в термодинамическом предельном переходе статистич. сумма имеет следующую асимптотику:

где объем области а функция т. н. термодинамический потенциалявляется важной термодинамич. характеристикой системы: с ее помощью выражаются многие другие термодинамич. характеристики (удельная энергия, плотность, удельная энтропия и т. д.).

Лит.:[1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, М., 1964 (Теоретическая физика, т. 5); [2] Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие результаты, пер. с англ., М., 1970; [3] Балеcку Р., Равновесная и неравновесная статистическая механика, пер. с англ., т. 1-2, М., 1978. Р. А. Минлос.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985