Математическая энциклопедия - стационарной фазы метод

-метод вычисления асимптотики интегралов от быстро осциллирующих функций:

где большой параметр, ограниченная область, функция S(x) (фаза) действительная, функция f(х) комплексная, и Если т. е. f финитна, и фаза S(x)не имеет стационарных точек (т. е. точек, в к-рых S' (х) = 0) на носителе supp f, то

Поэтому основной вклад в асимптотику интеграла (*) при вносят точки стационарной фазы и граница Вкладом от изолированной стационарной точки x⁰ н от границы наз. соответственно интегралы

где вблизи точки x⁰ и не содержит других стационарных точек, и в нек-рой окрестности границы. При п=1, имеем:

если

если x⁰ внутренняя точка отрезка и

Полностью исследован случай, когда п=1, фаза Sимеет конечное число стационарных точек, все они конечной кратности, и функция f имеет нули конечной кратности в этих точках и на концах отрезка Получены асимптотич. разложения. Исследован случай, когда функции f, . имеют степенные особенности: напр., где f1, S1 - гладкие при x=0 функции,

Пусть невырожденная стационарная точка (т. е. Тогда вклад от точки x⁰ равен

где сигнатура матрицы S" (x⁰). Имеется также асимптотич. ряд для (формулы для вклада в случае гладкой границы см. [5]). Если стационарная точка конечной кратности, то (см. [6])

где rk - рациональные числа, Исследованы вырожденные стационарные точки (см. [3], [4]).

Исследован случаи, когда фаза зависит от действительного параметра и при малых имеет две близкие невырожденные стационарные точки. В этом случае асимптотика интеграла выражается через функции Эйри (см. [5]). Имеется операторный вариант С. ф. м.: где Аинфинитезимальный оператор сильно непрерывной группы ограниченных на оси операторов, действующих в банаховом пространстве В, и f(x),S (х) гладкие функции со значениями в В[9]. Если функции аналитические, то С. ф. м. есть частный случай перевала, метода.

Лит.:[1] Тhоmsоn W., лPhilos. Mag.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985